Question

sin3x+cos3x=sin2x+cos2x Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку [9pi/4;7pi/2]

Answer 1

Формулы разности синусов и разности косинусов:

$\sin\alpha -\sin\beta =2\sin\dfrac{\alpha -\beta }{2} \cos\dfrac{\alpha+\beta }{2}$

$\cos\alpha -\cos\beta =-2\sin\dfrac{\alpha +\beta }{2} \sin\dfrac{\alpha-\beta }{2}$

Рассмотрим уравнение:

$\sin3x+\cos3x=\sin2x+\cos2x$

$\sin3x-\sin2x=\cos2x-\cos3x$

$2\sin\dfrac{3x-2x}{2}\cos\dfrac{3x+2x}{2}=-2\sin\dfrac{2x-3x}{2}\sin\dfrac{2x+3x}{2}$

$2\sin\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{5x}{2}=-2\sin\left(-\dfrac{x}{2}\right)\sin\dfrac{5x}{2}$

$2\sin\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{5x}{2}=2\sin\dfrac{x}{2}\sin\dfrac{5x}{2}$

$2\sin\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{5x}{2}-2\sin\dfrac{x}{2}\sin\dfrac{5x}{2}=0$

$2\sin\dfrac{x}{2}\left(\cos\dfrac{5x}{2}-\sin\dfrac{5x}{2}\right)=0$

Произведение рано нулю когда один из множителей равен нулю. Уравнение распадается на два. Решаем первое уравнение:

$2\sin\dfrac{x}{2}=0$

$\sin\dfrac{x}{2}=0$

$\dfrac{x}{2}=\pi n$

$x_1=2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$

Решаем второе уравнение:

$\cos\dfrac{5x}{2}-\sin\dfrac{5x}{2}=0$

$\sin\dfrac{5x}{2}=\cos\dfrac{5x}{2}$

Разделим обе части уравнения на $\cos\dfrac{5x}{2}\neq 0$:

$\mathrm{tg}\,\dfrac{5x}{2}=1$

$\dfrac{5x}{2}=\dfrac{\pi }{4}+\pi n$

$5x=\dfrac{\pi }{2}+2\pi n$

$x_2=\dfrac{\pi }{10}+\dfrac{2\pi n}{5} ,\ n\in\mathbb{Z}$

Выполним отбор корней на отрезке $\left[\dfrac{9\pi }{4};\ \dfrac{7\pi }{2} \right]$. Для первой серии корей получим:

$\dfrac{9\pi }{4} \leqslant 2\pi n\leqslant \dfrac{7\pi }{2}$

$\dfrac{9 }{4} \leqslant 2n\leqslant \dfrac{7}{2}$

$\dfrac{9 }{8} \leqslant n\leqslant \dfrac{7}{4}$

Целых чисел, удовлетворяющих такому двойному неравенству нет. Поэтому, первая серия корней не имеет решений на заданном отрезке.

Рассматриваем вторую серию:

$\dfrac{9\pi }{4} \leqslant \dfrac{\pi }{10}+\dfrac{2\pi n}{5} \leqslant \dfrac{7\pi }{2}$

$\dfrac{9}{4} \leqslant \dfrac{1}{10}+\dfrac{2n}{5} \leqslant \dfrac{7}{2}$

$\dfrac{9}{4}-\dfrac{1}{10} \leqslant \dfrac{2n}{5} \leqslant \dfrac{7}{2}-\dfrac{1}{10}$

$\dfrac{45}{20}-\dfrac{2}{20} \leqslant \dfrac{2n}{5} \leqslant \dfrac{35}{10}-\dfrac{1}{10}$

$\dfrac{43}{20} \leqslant \dfrac{2n}{5} \leqslant \dfrac{34}{10}$

$\dfrac{43}{4} \leqslant 2n \leqslant \dfrac{34}{2}$

$\dfrac{43}{8} \leqslant n \leqslant \dfrac{17}{2}$

$5.375 \leqslant n \leqslant 8.5$

Есть два целых числа удовлетворяющих данному двойному неравенству:

$n=6\Rightarrow x=\dfrac{\pi }{10}+\dfrac{2\pi \cdot6}{5}=\dfrac{\pi }{10}+\dfrac{12\pi}{5}=\dfrac{\pi }{10}+\dfrac{24\pi}{10}=\dfrac{25\pi}{10}=\dfrac{5\pi}{2}$

$n=7\Rightarrow x=\dfrac{\pi }{10}+\dfrac{2\pi \cdot7}{5}=\dfrac{\pi }{10}+\dfrac{14\pi}{5}=\dfrac{\pi }{10}+\dfrac{28\pi}{10}=\dfrac{29\pi}{10}$

Ответ: 5п/2 и 29п/10