Question

У трикутнику АВС: ВН- висота, кут АВС= 30 градусів, ВС= 12 см, СН= 3 корені з 7 см. Знайти довжину АН

Answer 1

Ответ:

$AH= \dfrac{9(4\sqrt{3} -3\sqrt{7} )}{5} .$

Объяснение:

Пусть дан Δ АВС , ∠АВС = 30°, ВС =12 см, проведена высота ВН . СН= 3√7 см .

Рассмотрим треугольник Δ ВНС - прямоугольный , так как ВН- высота. Применим теорему Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

$BH^{2} = BC^{2} - CH ^{2} ;\\BH = \sqrt{BC^{2} - CH ^{2} } ;\\BH= \sqrt{12^{2} -(3\sqrt{7} )^{2} } =\sqrt{144-63} =\sqrt{81} =9$

Обозначим в данном треугольнике ∠СВН через α.

Тогда ∠АВН= 30°-α.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

$tg\alpha =\dfrac{CH}{BH} ;\\\\tg\alpha =\dfrac{3\sqrt{7} }{9} =\dfrac{\sqrt{7} }{3}$

Рассмотрим Δ АНВ - прямоугольный.

$AH= BH \cdot tg( 30^{0} -\alpha )$

Воспользуемся формулой тангенса разности:

$tg(\alpha -\beta )= \dfrac{tg\alpha -tg\beta }{1+tg\alpha \cdot tg\beta }$

Тогда получим

$tg(30^{0} -\alpha )= \dfrac{tg30^{0} -tg\alpha }{1+tg30^{0} \cdot tg\alpha }=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3} }{3}-\dfrac{\sqrt{7} }{3} }{1+\dfrac{\sqrt{3} }{3}\cdot \dfrac{\sqrt{7} }{3} } =\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{7} }{3} :\dfrac{9+\sqrt{21} }{9} =\\\\=\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{7} }{3} \cdot \dfrac{9}{9+\sqrt{21} } =\dfrac{3(\sqrt{3}-\sqrt{7} ) }{9+\sqrt{21} } =\dfrac{3(\sqrt{3}-\sqrt{7} )\cdot( 9-\sqrt{21} ) }{(9+\sqrt{21})(\cdot( 9-\sqrt{21} ) } =$

$\\\\=\dfrac{3( 9\sqrt{3}-\sqrt{63} -9\sqrt{7} +\sqrt{7\cdot 21})}{9^{2}-(\sqrt{21)^{2} } } =\dfrac{3( 9\sqrt{3}-3\sqrt{7}-9\sqrt{7}+7\sqrt{3} ) }{81-21} =\\\\=\dfrac{3(16\sqrt{3} -12\sqrt{7}) }{60} =\dfrac{4( 4\sqrt{3} -3\sqrt{7}) }{20} =\dfrac{ 4\sqrt{3} -3\sqrt{7} }{5} .$

Найдем длину отрезка АН

$AH= 9 \cdot \dfrac{4\sqrt{3} -3\sqrt{7} }{5} = \dfrac{9(4\sqrt{3} -3\sqrt{7} )}{5}$

#SPJ1