Question

tg 22°30' + tg 67°30'
Преобразовать в произведение.

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle \tt \frac{1}{cos22^030' \cdot cos67^030'}$

или

2√2

Объяснение:

Дано тригонометрическое выражение

tg 22°30' + tg 67°30'.

Сначала применим формулу суммы тангенсов:

$\displaystyle \tt tg\alpha +tg\beta =\frac{sin(\alpha +\beta)}{cos\alpha \cdot cos\beta} .$

Тогда

$\displaystyle \tt tg22^030' +tg67^030' =\frac{sin(22^030' +67^030')}{cos22^030' \cdot cos67^030'} =\\\\=\frac{sin90^0}{cos22^030' \cdot cos67^030'} =\frac{1}{cos22^030' \cdot cos67^030'}.$

Можно было остановится: преобразование в произведение завершено.

Но, далее, применим формулу произведения косинусов:

$\displaystyle \tt cos\alpha \cdot cos\beta =\frac{cos(\alpha -\beta)+cos(\alpha +\beta)}{2} .$

Получим:

$\displaystyle \tt \frac{1}{cos22^030' \cdot cos67^030'}=\frac{1}{\dfrac{cos(22^030' - 67^030')+cos(22^030' + 67^030')}{2} }=\\\\=\frac{2}{cos45^0 + cos90^0}=\frac{2}{\dfrac{\sqrt{2} }{2} + 0}=\dfrac{4 }{\sqrt{2}}=\dfrac{4 \cdot \sqrt{2} }{2}=2 \cdot \sqrt{2}.$