Висота прямої призми ABCA1B1C1 дорівнює 12 см, AC = ВС,
AB = 8 см, діагональ грані BB1C1C дорівнює 13 см. Знайдіть пло-
щу перерізу призми, який проходить через пряму АВ і точку С1
Ответы
Ответ:
Площадь сечения прямой призмы ABCA₁B₁C₁ проходящей через прямую AB и точку C₁ равна 12√17 см²
Примечание:
По свойствам прямой призмы её боковое ребро является высотой, то есть перпендикулярно основанию призмы, таким образом CC₁ - высота призмы.
По свойствам прямой призмы её боковые грани являются прямоугольниками, поэтому BC₁ = CB₁ = 13 см (то есть обе диагонали равны 13 см)
Объяснение:
Дано: ABCA₁B₁C₁ - прямая призма, CC₁ ⊥ ABC, CC₁ = 12 см, AC = ВС,
AB = 8 см, BC₁ = 13 см
Найти: S - ?
Решение:
Так как точки A,C₁ и B,C₁ лежат соответственно в гранях ACC₁A₁ и BCC₁B₁, то данные точки можно соединить отрезками по аксиоме стереометрии (аксиома прямой и плоскости), то есть сечением прямой призмы ABCA₁B₁C₁ проходящей через прямую AB и точку C₁ есть треугольник ΔAC₁B.
По определению прямая перпендикулярная к плоскости перпендикулярна к любой прямой лежащей в этой плоскости, то так как по условию CC₁ ⊥ ABC и BC ⊂ ABC, то CC₁ ⊥ BC, следовательно треугольник ΔCC₁B - прямоугольный.
По теореме Пифагора (ΔCC₁B):
BC = √(BC₁² - CC₁²) = √(13² - 12²) = √(169 - 144) = √25 = 5 см.
Рассмотрим треугольник ΔABC.
Из точки C - проведем высоту на сторону AB в точку K, то есть
CK ⊥ AB.
По теореме высота равнобедренного треугольника проведенная к основания является биссектрисой и медианой, тогда так как по условию AC = ВС (то есть по определению: треугольник ΔABC равнобедренный, BC - основание) и по построению CK ⊥ AB, то CK - биссектриса и медиана, следовательно AK = BK = AB : 2 = 8 : 2 = 4 см по определению медианы.
Рассмотрим треугольник ΔBKC.
Так как по построению CK ⊥ AB, то треугольник ΔBKC - прямоугольный, тогда по тереме Пифагора:
CK = √(BC² - BK²) = √(5² - 4²) = √(25 - 16) = √9 = 3 см.
По определению прямая перпендикулярная к плоскости перпендикулярна к любой прямой лежащей в этой плоскости, то так как по условию CC₁ ⊥ ABC и CK ⊂ ABC, то CC₁ ⊥ KC.
По теореме о трех перпендикулярах C₁K ⊥ AB, так как CK ⊥ AB по построению, CC₁ ⊥ KC и отрезок CK - проекция отрезка C₁K на плоскость ABC в прямоугольном треугольнике ΔC₁KC.
По теореме Пифагора (ΔC₁KC):
C₁K = √(CK² + C₁C²) = √(3² + 12²) = √(9 + 144) = √153 = 3√17 см.
По формуле площади (ΔAC₁B):
S = 0,5 * AB * C₁K = 0,5 * 8 * 3√17 = 12√17 см².
#SPJ1
