Question

Реши уравнение x^2+2x+\dfrac{15}{x^2+2x}-8=0 с помощью замены переменной.

Запиши в поле ответа сумму корней нового и исходного уравнений.

Сумма корней уравнения с введенной переменной равна
.

Сумма корней исходного уравнения равна
.

Answer 1

Ответ:

Сумма корней уравнения с введенной переменной равна :

t₁ + t₂ = 8

Сумма корней исходного уравнения равна

x₁ + x₂ + x₃ + x₄ =  -4

Объяснение:

$x^2+2x+\dfrac{15}{x^2+2x}-8=0 ~~ \\\\\\ ODZ : x ^2 +2x \neq 0 \Leftrightarrow \displaystyle \left \{ {{x\neq 0} \atop {x\neq -2}} \right. \\\\\\ zamena : t = x^2 +2x \\\\\\\ t + \frac{15}{t} - 8 =0 ~~ |\cdot t \\\\ t^2 - 8t + 15 =0 \\\\ \left \{ \begin{array}{l} \boxed{t_1 + t_2 = 8} \\\\ t_1 \cdot t_2 = 15 \end{array} \Leftrightarrow t _1 = 3 ~~ ; ~~ t _2 = 5$

Сумма корней уравнения с введенной переменной равна :

t₁ + t₂ = 8

Теперь находим сумму корней исходного уравнения

$\hspace{-1,2em}1) ~ x^2 + 2x = t_1 \\\\ x^2 + 2x = 3 \\\\ x^2 +2x -3 =0$

Через дискриминант проверяем , действительные ли корни

$D = 4 + 12 = 16 > 0 ~~ \checkmark$

А сумму  корней можно найти по тереме Виета

$\left \{ \begin{array}{l} \boxed{x_1 + x_2 =-2} \\\\ x_1\cdot x_2 = -3\end{array} \Leftrightarrow x_1 = -3 ~~ ; ~~ x_2 = 1$

Корни подходят по ОДЗ

$\hspace{-1,2em}2) ~ x^2 + 2x = t_2 \\\\ x^2 + 2x = 5 \\\\ x^2 +2x -5 =0$

Аналогично

$D = 4 + 20 = 24 > 0 ~~ \checkmark$

(Сами корни можно не находить , т.к  корень из дискриминанта не рациональное  число ,  а значит корни будут не целые ,  а в ОДЗ не входят только целые корни )

$\left \{ \begin{array}{l} \boxed{x_3 + x_4 =-2} \\\\ x_3\cdot x_4 = -5\end{array}$

Сумма корней исходного уравнения равна

x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = - 2 + (-2)  = -4