Question

помогите пожалуйста!
Сфера задана уравнением. x² + 4х + у2 +2+ z²-2z = 3
а) запишите уравнение сферы в каноническом виде;
б) выпишите координаты центра сферы и найдите радиус;
в) проверьте принадлежит ли этой сфере точка A(-1;1;3) ​

Answer 1

Ответ:

а) $(x+2)^{2}+(y+1)^{2}+(z-1)^{2}=9$
б) (-2; -1; 1). R = 3
в) да, принадлежит.

Объяснение:

а) для того, чтобы записать уравнение в каноническом виде, нужно выделить полные квадраты в уравнении:
$x^{2} +4x=(x^{2} +4x+4)-4=(x+2)^{2} -4$
$y^{2} +2y=(y^{2} +2y+1)-1=(y+1)^{2} -1$
$z^{2} -2z=(z^{2} -2z+1)-1=(z-2)^{2} -1$
Теперь напишем полностью уравнение:
$(x+2)^{2}-4+(y+1)^{2}-1+(z-1)^{2}-1=3$
Перенесём числа из левой части в правую и получим:

$(x+2)^{2}+(y+1)^{2}+(z-1)^{2}=9$
б) Из канонического уравнения мы берём координаты центра и радиус: вторая цифра в скобках - это то, что нам нужно, но мы берём её с другим знаком. (x; y; z) = (-2; -1; 1), а в каноническом уравнении после равно идёт радиус в квадрате, значит извлекаем корень из девяти и получаем, что R = 3.
в) проверить принадлежность точки можно, подставив в каноническое уравнение сферы координаты.
Нам дано (-1; 1; 3), соответственно
$(-1+2)^{2}+(1+1)^{2}+(3-1)^{2}=9$
$1+4+4 = 9$
получается, что уравнение верно, значит точка принадлежит сфере.