Question

Точка N - центр квадрата, KN - перпендикуляр до його площини. Знайдіть відстань від точки К до сторін квадрата, якщо його площа дорівнює 64см², а KN=3см.
А) 5 см; Б) 7 см; В) 1 см; Г) 10 см.

Answer 1

Точка N - середина квадрата, KN - перпендикуляр к его плоскости. Найти расстояние от точки К до сторон квадрата, если его площадь равна 64см², а KN=3см.

Ответ:

Расстояние от точки К до сторон квадрата равно 5см

Объяснение:

Середина квадрата - точка пресечения его диагоналей. Проводим диагонали АС и BD. АС ∩ BD = N - середина ABCD.

Проведём KA₁⊥AB, KВ₁⊥ВС, KС₁⊥CD, KD₁⊥AD.

Расстояние от точки до прямой - перпендикуляр, опущенный с точки на эту сторону, соответственно расстояния от точки К до сторон квадрата - отрезки KA₁, KВ₁, KС₁ и KD₁.

Рассмотрим треугольник KND₁.

KN - перпендикуляр, KD₁ - наклонная, ND₁ - проекция наклонной, KD₁⊥AD, поэтому ND₁⊥AD по теореме о трёх перпендикулярах.

Аналогично с ΔKNA₁, ΔKNВ₁ и ΔKNС₁, NA₁⊥BA, NВ₁⊥BC и NС₁⊥CD.

Имеем ND₁⊥AD, NA₁⊥BA, NВ₁⊥BC и NС₁⊥CD, поэтому ND₁, NA₁, NВ₁ и NС₁ - радиусы вписанной в квадрат окружности, АВ, ВС, CD и AD - касательные к этой окружности.

Если ND₁, NA₁, NВ₁ и NС₁ - радиусы, то ND₁ = NA₁ = NВ₁ = NС₁.

ΔKND₁, ΔKNA₁, ΔKNВ₁ и ΔKNС₁ - прямоугольные (KN⊥(ABC)), ND₁=NA₁=NВ₁=NС₁, KN - общая сторона треугольников, поэтому ΔKND₁=ΔKNA₁=ΔKNВ₁=ΔKNС₁ по двум катетам.

С равенства треугольников имеем KD₁=KA₁=KВ₁=KС₁, а это - расстояния от точки К до сторон квадрата, так как они равны, нам будет достаточно найти лишь один из этих отрезков.

Формула площади квадрата:

$\Large \boldsymbol {} S=нd^2 \Longrightarrow d=\sqrt{2S}$

где d - диагональ квадрата.

Подставляем наши значения:

$\Large \boldsymbol {} d=\sqrt{2*64} =8\sqrt{2}$

AC=BD=(8√2)см.

По свойству диагоналей квадрата, в точке пресечения они делятся на равные отрезки: CN=NA=BN=ND.

AN=1/2*AC=1/2*8√2=4√2.

Проведём KA и KD.

Рассмотрим ΔKNA - прямоугольный (KN⊥(ABC) ⇒ KN⊥NA).

По теореме Пифагора КА²=KN²+AN², поэтому:

$\Large \boldsymbol {} KA=\sqrt{KN^2+AN^2}=\sqrt{(4\sqrt{2})^2+3^2 }=\sqrt{41}$

KA=√41 см.

Найдём сторону квадрата через его площадь:

$\Large \boldsymbol {} S=a^2 \Longrightarrow a=\sqrt{S}=\sqrt{64}=8$

AB=BC=CD=AD=8см.

Рассмотрим ΔKNA и ΔKND - прямоугольные.

KN - общая сторона и ND=NA как радиусы описанного круга, поэтому ΔKNA = ΔKND. С равенства имеем KD=AD.

Рассмотрим ΔKAD - равнобедренный (KD=AD).

KD₁⊥AD, поэтому KD₁ - высота, а по свойству равнобедренного треугольника - медиана и биссектриса.

Так как KD₁ - медиана, АD₁= DD₁  = 1/2*AD = 1/2*8 = 4см.

Рассмотрим ΔКАD₁ - прямоугольный (KD₁⊥AD).

По теореме Пифагора КА²=АD₁²+KD₁², отсюда:

$\Large \boldsymbol {} KD_1= \sqrt{KA^2-AD_1^2} =\sqrt{(\sqrt{41})^2-4^2 } =\\\\=\sqrt{41-16}=\sqrt{25}=5$

KD₁=5см, а KD₁ это и есть расстояние от точки K до стороны квадрата.