Точка N - центр квадрата, KN - перпендикуляр до його площини. Знайдіть відстань від точки К до сторін квадрата, якщо його площа дорівнює 64см², а KN=3см.
А) 5 см; Б) 7 см; В) 1 см; Г) 10 см.
![](https://st.uroker.com/files/8f9/8f92d4fd0d7fd175a0a9dadc59119405.jpg)
Ответы
Точка N - середина квадрата, KN - перпендикуляр к его плоскости. Найти расстояние от точки К до сторон квадрата, если его площадь равна 64см², а KN=3см.
Ответ:
Расстояние от точки К до сторон квадрата равно 5см
Объяснение:
Середина квадрата - точка пресечения его диагоналей. Проводим диагонали АС и BD. АС ∩ BD = N - середина ABCD.
Проведём KA₁⊥AB, KВ₁⊥ВС, KС₁⊥CD, KD₁⊥AD.
Расстояние от точки до прямой - перпендикуляр, опущенный с точки на эту сторону, соответственно расстояния от точки К до сторон квадрата - отрезки KA₁, KВ₁, KС₁ и KD₁.
Рассмотрим треугольник KND₁.
KN - перпендикуляр, KD₁ - наклонная, ND₁ - проекция наклонной, KD₁⊥AD, поэтому ND₁⊥AD по теореме о трёх перпендикулярах.
Аналогично с ΔKNA₁, ΔKNВ₁ и ΔKNС₁, NA₁⊥BA, NВ₁⊥BC и NС₁⊥CD.
Имеем ND₁⊥AD, NA₁⊥BA, NВ₁⊥BC и NС₁⊥CD, поэтому ND₁, NA₁, NВ₁ и NС₁ - радиусы вписанной в квадрат окружности, АВ, ВС, CD и AD - касательные к этой окружности.
Если ND₁, NA₁, NВ₁ и NС₁ - радиусы, то ND₁ = NA₁ = NВ₁ = NС₁.
ΔKND₁, ΔKNA₁, ΔKNВ₁ и ΔKNС₁ - прямоугольные (KN⊥(ABC)), ND₁=NA₁=NВ₁=NС₁, KN - общая сторона треугольников, поэтому ΔKND₁=ΔKNA₁=ΔKNВ₁=ΔKNС₁ по двум катетам.
С равенства треугольников имеем KD₁=KA₁=KВ₁=KС₁, а это - расстояния от точки К до сторон квадрата, так как они равны, нам будет достаточно найти лишь один из этих отрезков.
Формула площади квадрата:
где d - диагональ квадрата.
Подставляем наши значения:
AC=BD=(8√2)см.
По свойству диагоналей квадрата, в точке пресечения они делятся на равные отрезки: CN=NA=BN=ND.
AN=1/2*AC=1/2*8√2=4√2.
Проведём KA и KD.
Рассмотрим ΔKNA - прямоугольный (KN⊥(ABC) ⇒ KN⊥NA).
По теореме Пифагора КА²=KN²+AN², поэтому:
KA=√41 см.
Найдём сторону квадрата через его площадь:
AB=BC=CD=AD=8см.
Рассмотрим ΔKNA и ΔKND - прямоугольные.
KN - общая сторона и ND=NA как радиусы описанного круга, поэтому ΔKNA = ΔKND. С равенства имеем KD=AD.
Рассмотрим ΔKAD - равнобедренный (KD=AD).
KD₁⊥AD, поэтому KD₁ - высота, а по свойству равнобедренного треугольника - медиана и биссектриса.
Так как KD₁ - медиана, АD₁= DD₁ = 1/2*AD = 1/2*8 = 4см.
Рассмотрим ΔКАD₁ - прямоугольный (KD₁⊥AD).
По теореме Пифагора КА²=АD₁²+KD₁², отсюда:
KD₁=5см, а KD₁ это и есть расстояние от точки K до стороны квадрата.
![](https://st.uroker.com/files/3df/3df5f74b5631eab96809d32645335791.png)