Question

СРОЧНО!!! Помогите пожалуйста исследовать данные функции методами дифференциального исчисления и построить их графики. При исследовании функции нужно найти интервалы возрастания и убывания и точки экстремума функции, интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции. Очень нужно подробно.

y= - 1/4x^3+9/8x^2+3x-6.

Answer 1

Ответ:

1.  ОДЗ: х∈R.

2. Функция не является четной или нечетной.

3. у = 0;  х = -2,8; х = 1,5; х = 5,9;

х = 0; у = -6

4. Асимптот не имеет.

5. Функция возрастает на промежутке: [-1; 4]

Функция убывает на промежутках: (-∞; -1]; [4; +∞)

x max = 4; x min = -1

6. Функция вогнута на промежутке:  (-∞; -1,5];

выпукла на промежутке:  [1,5; +∞).

х перегиба = 1,5.

Пошаговое объяснение:

Исследовать данную функцию методом дифференциального исчисления и построить график.

$\displaystyle y=-\frac{1}{4}x^3+\frac{9}{8}x^2+3x-6$

1. ОДЗ: х∈R.

2. Четность, нечетность.

Если f(-x) = f(x) - функция четная, если  f(-x) = -f(x) - функция нечетная.

$\displaystyle y(-x)=\frac{1}{4}x^3+\frac{9}{8}x^2-3x-6$

y(-x) ≠ y(x) ≠ -y(x) ⇒ функция не является четной или нечетной.

3. Пересечение с осями координат.

1) с осью 0х ⇒ у = 0

$\displaystyle 0=-\frac{1}{4}x^3+\frac{9}{8}x^2+3x-6\\\\x_1=-2,8;\;\;\;\;\;x_2=1,5;\;\;\;\;\;x_3=5,9$

Корни найдены с помощью онлайн калькулятора.

2) с осью 0у ⇒ х = 0

у = -6.

4. Асимптоты.

Функция непрерывна, асимптот не имеет.

5. Возрастание, убывание, точки экстремума.

Найдем производную.

$\displaystyle y'=-\frac{1}{4}\cdot3x^2+\frac{9}{8}\cdot2x+3=\\\\=-\frac{3}{4}x^2+\frac{9}{4}x+3$

Приравняем к нулю, найдем корни, отметим их на числовой оси.

Определим знаки производной на промежутках.

Если ПЛЮС - функция возрастает, МИНУС - убывает.

$\displaystyle -\frac{3}{4}x^2+\frac{9}{4}x+3 =0\;\;\;\;\;|\cdot4\\\\-3x^2+9x+12 = 0\;\;\;\;\;:(-3)\\\\x^2-3x-4=0$

По теореме Виета:

х₁ = -1;   х₂ = 4

См. вложение.

Функция возрастает на промежутке: [-1; 4]

Функция убывает на промежутках: (-∞; -1]; [4; +∞)

x max = 4; x min = -1

y(4) = 8; y(-1) = -7,625

6. Выпуклость, вогнутость.

Найдем производную второго порядка:

$\displaystyle y''=-\frac{3}{4}\cdot2x+\frac{9}{4}=-\frac{3}{2} x+\frac{9}{4}$

Приравняем к нулю, найдем корни, отметим корни и определим знаки второй производной на промежутках.

Если ПЛЮС - вогнута; МИНУС - выпукла.

$\displaystyle -\frac{3}{2} x+\frac{9}{4}=0\;\;\;\;\;|\cdot4\\\\-6x=-9\\\\x=1,5$

Функция вогнута на промежутке:  (-∞; -1,5];

выпукла на промежутке:  [1,5; +∞).

х перегиба = 1,5

у(1,5) = 0

Строим график.

#SPJ1