Question

Помогите срочно решить неопределенные интегралы

Answer 1

Ответ:

1)  Интегрирование рациональных дробей .

$\displaystyle \int \frac{3x^2-2}{(x+3)(2x^2-3x-2)}\, dx=\int \frac{(3x^2-2)\, dx}{(x+3)(2x+1)(x-2)}=(*)$

Разложим на простейшие дроби подынтегральную дробь .

$\displaystyle \frac{3x^2-2}{(x+3)(2x+1)(x-2)}=\frac{A}{x+3}+\frac{B}{2x+1}+\frac{C}{x-2}\ ;\\\\\\3x^2-2=A(2x+1)(x-2)+B(x+3)(x-2)+C(x+3)(2x+1)\ ;\\\\x=-3:\ A=\frac{3\cdot 9-2}{-5\cdot (-5)}=1\ \ \ ,\ \ \ \ \ x=-\frac{1}{2}:\ B=\frac{3\cdot \frac{1}{4}-2}{\frac{5}{2}\cdot \frac{-5}{2}}=-\frac{1}{5}\\\\\\x=2:\ C=\frac{12-2}{5\cdot 5}=\frac{2}{5}$  

$\displaystyle (*)=\int \Big(\frac{1}{x+3}-\frac{1}{5(2x+1)}+\frac{2}{5(x-2)}\Big)\, dx=\\\\\\=\int \frac{dx}{x+3}-\frac{1}{5}\int \frac{dx}{2x+1}+\frac{2}{5}\int \frac{dx}{x-2}=\\\\\\=ln|x+3|-\frac{1}{10}\, ln|2x+1|+\frac{2}{5}\, ln|x-2|+C$  

2)  Интегрирование выражений , содержащих в знаменателе квадратный трёхчлен .

$\displaystyle \int \frac{6x-1}{\sqrt{9x^2+6x-2}}\, dx=\int \frac{6x-1}{\sqrt{(3x+1)^2-3}}\, dx=\Big[\ t=3x+1\ ,\ x=\frac{t-1}{3}\ ,\\\\\\dx=\frac{dt}{3}\ \Big]=\int \frac{(2t-2)\, dt}{3\sqrt{t^2-3}}=\frac{1}{3}\int \frac{2t\, dt}{\sqrt{t^2-3}}-\frac{2}{3}\int \frac{dt}{\sqrt{t^2-3}}=\\\\\\=\frac{1}{3}\cdot 2\sqrt{t^2-3}-\frac{2}{3}\cdot ln|\, t+\sqrt{t^2-3}\, |+C=\\\\\\=\frac{2}{3}\cdot \sqrt{(3x+1)^2-3}-\frac{2}{3}\cdot ln|\, 3x+1+\sqrt{(3x+1)^2-3}\, |+C=$

$=\dfrac{2}{3}\cdot \sqrt{9x^2+6x-2}-\dfrac{2}{3}\cdot ln|\, 3x+1+\sqrt{9x^2+6x-2}\, |+C$  

3) Интегрирование тригонометрических выражений .  

$\displaystyle \int \frac{sin^3x}{cos^6x}\, dx=\int \frac{sin^2x\cdot sinx\, dx}{cos^6x}=\int \frac{-(1-cos^2x)\cdot d(cosx)}{cos^6x}=\\\\\\=\Big[\ t=sinx\ \Big]=\int \frac{(t^2-1)\, dt}{t^6}=\int \frac{dt}{t^4}-\int \frac{dt}{t^6}=\frac{t^{-3}}{-3}-\frac{t^{-5}}{-5}+C=\\\\\\=-\frac{1}{3sin^3x}+\frac{1}{5sin^5x}+C$