Question

Дано уравнение поверхности в неявной форме F( x, y, z)=0. Составить уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к данной поверхности в точке M0(x0; y0; z0) , если абсцисса x0 и ордината y0 этой точки заданы.

Answer 1

Ответ:

$-3x-9y+z-6=0; \ \frac{x-2}{-12} =\frac{y+1}{-36} =\frac{z-3}{4}.$

Объяснение:

если данная функция задана как 4xy²z+x³y-x²z+4y=0, то

1) можно найти аппликату точки М: z=3.

Следовательно, точка М(2;-1;3).

2) уравнение касательной плоскости находится по формуле:

$F'_x(M)*(x-X_M)+F'_y(M)*(y-Y_M)+F'_z(M)*(z-Z_M)=0;$

$F'_x=4y^2z+3x^2y-2xz; \ F'_x(M)=12-12-12=-12;$

$F'_y=8xyz+x^3+4; \ F'_y(M)=-48+8+4=-36;$

$F'_z=4xy^2-x^2; \ F'_z(M)=8-4=4;$

Следовательно, после подстановки М(2;-1;3) и -12, -36, 4 получится:

-12(х-2)-36(у+1)+4(z-3)=0; ⇔ -3х-9у+z-6=0.

3) уравнение нормали определяется по формуле:

$\frac{x-X_M}{F'_X(M)} =\frac{y-Y_M}{F'_y(M)} =\frac{z-Z_M}{F'_z(M)};$

подставляя сюда М(2;-1;3) и -12, -36 и 4, получим:

$\frac{x-2}{-12} =\frac{y+1}{-36} =\frac{z-3}{4}.$