Question

общее решение дифференциального уравнения
y''-3y'-4y=9e^(2x)

Answer 1

$y''-3y'-4y=9e^{2x}$

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения ищем в виде суммы общего решения однородного дифференциального уравнения, соответствующего данному неоднородному, и частного решения данного неоднородного дифференциального уравнения.

1. Составим и решим однородное дифференциальное уравнение, соответствующее данному неоднородному:

$y''-3y'-4y=0$

Рассмотрим характеристическое уравнение:

$\lambda^2-3\lambda-4=0$

$(\lambda+1)(\lambda-4)=0$

$\lambda_1=-1;\ \lambda_2=4$

Общее решение однородного дифференциального уравнения:

$Y=C_1e^{-x}+C_2e^{4x}$

2. Частное решение данного неоднородного дифференциального уравнения ущем в виде:

$\overline{y}=Ae^{2x}$

Тогда:

$\overline{y}'=A\cdot 2e^{2x}= 2Ae^{2x}$

$\overline{y}''=2A\cdot 2e^{2x}=4Ae^{2x}$

Подставим соотношения в исходное уравнение:

$4Ae^{2x}-3\cdot 2Ae^{2x}-4\cdot Ae^{2x}=9e^{2x}$

$4Ae^{2x}-6Ae^{2x}-4Ae^{2x}=9e^{2x}$

$-6Ae^{2x}=9e^{2x}$

$-6A=9$

$A=-\dfrac{3}{2}$

$\Rightarrow \overline{y}=-\dfrac{3}{2} e^{2x}$

3. Составляем общее решение неоднородного дифференциального уравнения:

$y=Y+\overline{y}$

$\boxed{y=C_1e^{-x}+C_2e^{4x}-\dfrac{3}{2} e^{2x}}$