Question

ПОМОГИТЕ ПЖ! С ПОДРОБНЫМ ОБЪЯСНЕНИЕМ

Answer 1

Решение.

Применим формулу тангенса половинного аргумента  $\bf tg\dfrac{\alpha }{2}=\dfrac{sin\alpha }{1+cos\alpha }$

и формулу приведения  $\bf tg(180^\circ -\alpha )=-tg\alpha$   .

$\bf tg172^\circ 30'=tg(180^\circ -7^\circ 30')=-tg7^\circ 30'=-\dfrac{sin15^\circ}{1+cos15^\circ }\ ;\\\\\\\bullet \ \sin15^\circ =sin(45^\circ -30^\circ )=sin45^\circ \cdot cos30^\circ -sin30^\circ \cdot cos45^\circ =\\\\=\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot \dfrac{\sqrt3}{2}-\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{\sqrt2}{2}=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\ ;$

$\bf \bullet \ \cos15^\circ =cos(45^\circ -30^\circ )=cos45^\circ \cdot cos30^\circ +sin30^\circ \cdot sin45^\circ =\\\\=\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot \dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{\sqrt2}{2}=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\ ;$

 

$\bf tg172^\circ 30'=-\dfrac{sin15^\circ}{1+cos15^\circ }=-\dfrac{\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}}{1+\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}}=-\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4+\sqrt6+\sqrt2}\ ;\\\\\\\\\sqrt3-\sqrt2-\sqrt6-7-tg172^\circ 30'=\\\\=\sqrt3-\sqrt2-\sqrt6-7+\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4+\sqrt6+\sqrt2}=\\\\\\=\dfrac{(\sqrt3-\sqrt2-\sqrt6-7)(4+\sqrt6+\sqrt2)+\sqrt6-\sqrt2}{4+\sqrt6+\sqrt2}=$

$\bf =\dfrac{4\sqrt3-4\sqrt2-4\sqrt6-28+3\sqrt2-2\sqrt3-6-7\sqrt6+\sqrt6-2-2\sqrt3-7\sqrt2+\sqrt6-\sqrt2}{4+\sqrt6+\sqrt2}=$

$\bf =\dfrac{-9\sqrt2-9\sqrt6-36}{4+\sqrt6+\sqrt2}=\dfrac{-9\cdot (\sqrt2+\sqrt6+4)}{4+\sqrt6+\sqrt2}=-9$  

Доказательство формулы :

$\bf \dfrac{sina}{1+cosa}=\dfrac{2sin\frac{a}{2}\cdot cos\frac{a}{2}}{(sin^2\frac{a}{2}+cos^2\frac{a}{2})+(cos^2\frac{a}{2}-sin^2\frac{a}{2})}=\dfrac{2sin\frac{a}{2}\cdot cos\frac{a}{2}}{2\, cos^2\frac{a}{2}}=\\\\=\dfrac{sin\frac{a}{2}}{cos\frac{a}{2}}=tg\dfrac{a}{2}$