Question

Помогите пожалуйста решить задачу ​

Answer 1

Ответ:

а)  Применяем универсальную тригонометрическую подстановку.

Сначала вычислим неопределённый интеграл , а затем выполним подстановку .

$\displaystyle \int\frac{dx}{1-2sinx+3cosx}=\Big[\ t=tg\frac{x}{2} x=2arctgt\ ,\ dx=\frac{2\, dt}{1+t^2}\ ,\ sinx=\frac{2t}{1+t^2}\ ,\\\\\\cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2}\ \Big]=\int \frac{2\, dt}{(1+t^2)\Big(1-2\cdot \dfrac{2t}{1+t^2}+3\cdot \dfrac{1-t^2}{1+t^2}\Big)}=\\\\\\=\int \frac{2\, dt}{1+t^2-4t+3-3t^2}=\int \frac{2\, dt}{-2(t^2+2t-2)}=-\int \frac{dt}{t^2+2t-2}=\\\\\\=-\int \frac{dt}{(t+1)^2-3}=-\frac{1}{2\sqrt3}\cdot ln\Big|\, \frac{t+1-\sqrt3}{t+1+\sqrt3}\, \Big|+C=$

$=\displaystyle -\frac{1}{2\sqrt3}\cdot ln\Big|\, \frac{tg\frac{x}{2}+1-\sqrt3}{tg\frac{x}{2}+1+\sqrt3}\, \Big|+C\ ;$  

   $\displaystyle \int\limits^{2arctg2}_{\pi /2}\, \frac{dx}{1-2sinx+3cosx}=-\frac{1}{2\sqrt3}\cdot ln\Big|\, \frac{tg\frac{x}{2}+1-\sqrt3}{tg\frac{x}{2}+1+\sqrt3}\ \Big |_{\pi /2}^{2arctg2}=\\\\\\=-\frac{1}{2\sqrt3}\cdot ln\Big|\, \frac{2+1-\sqrt3}{2+1+\sqrt3}\, \Big|+\frac{1}{2\sqrt3}\cdot ln\Big|\, \frac{1+1-\sqrt3}{1+1+\sqrt3}\, \Big|=\\\\\\=-\frac{1}{2\sqrt3}\cdot ln\Big|\, \frac{3-\sqrt3}{3+\sqrt3}\, \Big|+\frac{1}{2\sqrt3}\cdot ln\Big|\, \frac{2-\sqrt3}{2+\sqrt3}\, \Big|=$

$\displaystyle =\frac{1}{2\sqrt3}\cdot ln\Big|\ \frac{(2-\sqrt3)(3+\sqrt3)}{(2+\sqrt3)(3-\sqrt3)}\ \Big|=\frac{1}{2\sqrt3}\cdot ln\Big|\ \frac{(2-\sqrt3)^2(3+\sqrt3)^2}{(4-3)(9-3)}\ \Big|=\\\\\\=\frac{1}{2\sqrt3}\cdot ln\Big|\ \frac{(7-4\sqrt3)(12+6\sqrt3)}{6}\ \Big|=\frac{1}{2\sqrt3}\cdot ln(2-\sqrt3)\ ;$  

b)  Метод замены переменной .

$\displaystyle \int \limits _4^{11}\frac{x-3}{2+\sqrt[3]{x-3}}\, dx=\Big[\ t^3=x-3\ ,\ t=\sqrt[3]{x-3}\ ,\ dx=3t^2\ \Big]=\int \limits _1^{2}\frac{t^3\cdot 3t^2\, dt}{2+t}=\\\\\\=3\int \limits _1^{2}\frac{t^5\, dt}{t+2}=3\int \limits _1^{2}\Big(t^4-2t^3+4t^2-8t+16-\frac{32}{t+2}\Big)\, dt=\\\\\\=3\cdot \Big(\frac{t^5}{5}-\frac{t^4}{2}+\frac{4t^3}{3}+16t-32\cdot ln|t+2|\ \Big)\ \Big|_1^{2}=$

$\displaystyle 3\cdot \Big(\frac{32}{5}-\frac{16}{2}+\frac{32}{3}+32-32\cdot ln4\Big)-3\cdot \Big(\frac{1}{5}-\frac{1}{2}+\frac{4}{3}+16-32\cdot ln3\Big)=\\\\\\=3\cdot \Big(\frac{31}{5}-\frac{15}{2}+\frac{28}{3}+16-32\, ln\frac{2}{3}\ \Big)=72,1-96\cdot ln\frac{2}{3}$