Question

Помогите пожалуйста решить задачу Изменить порядок интегрирования

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle \int\limits^1_0\, dx\int\limits_{-1}^{x^2+1}\, f(x,y)\, dy=\int\limits^1_{-1}\, dy\int\limits_0^1\, f(x,y)\, dx+\int\limits_1^2\, dy\int\limits^1_{\sqrt{y-1}}\, d(x,y)\, dx$  

Область интегрирования D:  $\left\{\begin{array}{l}0\leq x\leq 1\\-1\leq y\leq x^2+1\end{array}\right$  .

Точка пересечения параболы   $y=x^2+1$  и прямой   $x=1$ :  

$y=1^2+1=2\ \ ,\ \ M(1;2)$  .

Если интегрировать в другом порядке, то заданная область

разобьётся на две области. Первая область  $\left\{\begin{array}{l}-1\leq y\leq 1\\\ 0\leq x\leq 1\end{array}\right$  . Вторая

область  $\left\{\begin{array}{l}\ \ \ \ \ 1\leq y\leq 2\\\sqrt{y-1}\leq x\leq 1\end{array}\right$   .

$\star \ \ y=x^2+1\ \ \ \to \ \ \ x^2=y-1\ \ ,\ \ x=\pm \sqrt{y-1}$  .

Answer 2

Ответ:

$\int\limits^1_0 \, dx \int\limits^{x^2+1}_{-1} {f(x,y)} \, dy=\int\limits^1_{-1} \, dy \int\limits^1_0 {f(x,y)} \, dx +\int\limits^2_1 \, dy \int\limits^1_{\sqrt{y-1}} f(x,y) \, dx .$

Объяснение:

$\left \{ {0\leq x\leq 1} \atop {-1\leq y\leq x^2+1}} \right..\\ y=x^2+1\\x^2=y-1\\x=б\sqrt{y-1} \ \ \ \ \ x\in[0;1]\ \ \ \ \ \Rightarrow\\x=\sqrt{y-1} .$

Смотрите график.