Question

тело движется по закону s(t) =8-2t+24t^2-0,3t^5.выяснить каково наибольшее скорость этого тела, если расстояние измеряется в метрах, а время в секундах

Answer 1

Ответ:

Наибольшее значение скорости тела 70 м/с.

Объяснение:

Тело движется по закону s(t) = 8 - 2t + 24t² - 0,3t⁵. Выяснить, какова наибольшая скорость этого тела. Расстояние измеряется в метрах, а время в секундах.

• Скорость тела равна первой производной перемещения по времени.

1) Найдем выражение для скорости движения данного тела:

υ(t) = s'(t) = -2 + 48t - 1,5t⁴

Скорость движения тела изменяется по закону:

υ(t) = s'(t) = - 1,5t⁴ + 48t -2

2) Найдем наибольшее значение скорости.

Для этого нам нужно найти наибольшее значение функции υ(t).

• Необходимое условие существования экстремума функции: если функция f (x) имеет в точке x₀ экстремум, то ее производная в этой точке равна нулю, или не существует.
• Достаточное условие существования экстремума функции:
  если производная функции f(x) равна нулю в точке x₀ и при переходе через эту точку меняет знак с (+) на (-), то в точке x₀ функция имеет максимум;
  а если при переходе через эту точку меняет знак с (-) на (+), то в точке x₀ функция имеет минимум.

а) найдем критические точки функции υ(t).

Для этого найдем производную и приравняем ее к нулю.

υ'(t) = -6t³ + 48;

-6t³ + 48 = 0;

t³ = -48 : (-6) = 8;

t = 2

• Если производная f'(x) положительна на некотором промежутке, то функция f(x) возрастает на этом промежутке.
  Если производная f'(x) отрицательна на некотором промежутке, то функция f(x) убывает на данном промежутке.

б) Проверим, изменяет ли знак производная υ'(t) при переходе через критическую точку t₀ = 2.

На промежутке t ∈ (-∞; 2]:

возьмем значение t = 0,

υ'(0) = -6 · 0³ + 48 = 48;

υ'(t) > 0, функция υ(t) возрастает.

На промежутке t ∈ [2; ∞):

возьмем значение t = 10,

υ'(10) = -6 · 10³ + 48 = -6000 + 48 = -5952;

υ'(t) < 0, функция υ(t) убывает.

При переходе через точку t₀ = 2  производная υ'(t) меняет свой знак с (+) на (-), значит в точке t₀ = 2 функция  υ(t) имеет максимум.

В момент времени t = 2 скорость движения тела наибольшая.

в) Вычислим значение максимума функции υ(t) в момент времени 2 с.

υ(2) = - 1,5·2⁴ + 48·2 - 2 = -1,5·16 + 96 - 2 = -24 + 94 = 70 (м/с)

Наибольшее значение скорости тела 70 м/с.

#SPJ1