Question

В какой точке x отрезка [-3;5] функция f(x)=2x^3+3x^7 принимает своё наибольшее значение?

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

при х=5
так как функция монотонно возрастает
она состоит из суммы двух возрастающих функций
поэтому максимальное значение достигается при максимальном х
производная функции равна 6х²+21х⁶≥ 0 при любых х

Answer 2

Ответ:

f(5) = 234625

Объяснение:

$\displaystyle f(x)=2x^3+3x^7$
$\displaystyle f'(x)=6x^2+21x^6 = x^2*(6+21x^4)$
$\displaystyle x^2*(6+21x^4)=0$
$\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}x^2=0\\6+21x^4=0\\\end{array}\right. < = > \left[\begin{array}{ccc}x=0\\21x^4=-6\\\end{array}\right. < = > \left[\begin{array}{ccc}x=0\\x^4=-\frac{21}{6} \\\end{array}\right. < = > x=0$

P. S. Число в чётной степени не может равняться отрицательному

Проверим входит ли точка в промежуток х∈[-3;5]
х = 0
-3 ≤ 0 ≤ 5 - верно

Исследуем функцию на экстремумы:
Построим координатную прямую: (точка закрашена)

f'(x)         +                                    +
----------------------------₀----------------------------------->

f(x)          ↑               0                  ↑                  x
Возьмём точку левее 0, например х = -1:
f'(-1) = (-1)²*(6+21*(-1)⁴) = 1*(6+21*1) = 6+21 = -27
Возьмём точку правее 0, например х = 1:
f'(1) = (1)²*(6+21*(1)⁴) = 1*(6+21*1) = 6+21 = 27

Видно, что функция постоянно растёт, значит наибольшее значение будет в точке х = 5
f(5) = 2*5³+3*5⁷ = 234625