Question

Дані координати вершин трикутника АВС А(-7;4) В(5;-5) С(3;9). Знайти: 1) довжину сторони АВ; 2) рівняння сторін АВ і ВС і їх кутові коефіцієнти; 3) кут В в радіанах; 4) рівняння висоти СД і її довжину; 5) рівняння медіани АЕ; 6) координати точки перетину медіани АЕ і висоти СД; 7) рівняння прямої, що проходить через точку А, паралельно прямій ВС. Зробити малюнок.

Answer 1

Дані координати вершин трикутника АВС А(-7;4) В(5;-5) С(3;9). Знайти:

1) довжину сторони АВ;

Вектор АВ = (5-(-7); -5-4) = (12; -9).

Его модуль равен

|AB| = √(12² + (-9)²) =√(144 + 81) = √225 = 15.

2) рівняння сторін АВ і ВС і їх кутові коефіцієнти;

Уравнение стороны АВ определяем по найденному вектору АВ (12; -9) и точке А(-7; 4).

AB: (x + 7)/12 = (y – 4)/(-9),.      

 -9x – 63 = 12y – 48,

 9x + 12y + 15 = 0 или, сократив на 3:

3x + 4y + 5 = 0.

Находим вектор ВС.

ВС = (3-5; 9-(-5)) = (-2; 14).

Его модуль равен

|ВС| = √((-2)² + 14²) =√(4 + 196) = √200 = 10√2.

BC: (x - 5)/(-2) = (y + 5)/14,.      

 14x – 70 = -2y – 10,

 14x + 2y - 60 = 0 или, сократив на 2:

7x + y - 30 = 0.

3) кут В в радіанах;

ВА = -АВ = (-12; 9),

|AB| = 15.

ВС = (-2; 14).

|ВС| = 10√2.

cos B = (-12*(-2) + 9*14)/(15*10√2) = 150/150√2 = 1/√2.

Угол В равен:

B = arccos(1/√2) = 0,785398163 радиан или 45 градусов.

4) рівняння висоти СD і її довжину;

Высота СD – это перпендикуляр к прямой АВ 3x + 4y + 5 = 0 из точки С(3; 9).

Прямая, проходящая через точку M1(x1; y1) и перпендикулярная прямой Ax+By+C=0, представляется уравнением

A(y-y1)-B(x-x1)=0.

Подставим данные и получаем уравнение высоты СD:

3(y – 9) – 4(x - 3) = 0 или 4x – 3y + 15 = 0.

 

5) рівняння медіани АЕ;

Находим координаты точки Е как середину отрезка ВС.

Е = (В(5; -5 + С(3; 9)) / 2 = (4; 2).

Вектор АЕ = Е(4; 2) - А(-7; 4) = (11; -2).

Находим уравнение медианы АЕ по точке А(-7; 4) и вектору АЕ(11; -2).

Уравнение АМ: (х + 7)/11 = (у - 4)/(-2).

-2x – 14 = 11y - 44

2x + 11y - 30 = 0.

6) координати точки перетину медіани АЕ і висоти СД;

AE: 2x + 11y - 30 = 0 |x(-2) = -4x - 22y + 60 = 0

СD: 4x – 3y + 15 = 0               4x – 3y + 15 = 0

                                                      -25y + 75 = 0

                                                           y = -75/-25 = 3,

x = (-11y + 30)/2 = (-11*3 + 30)/2 = -1,5.

Точка Н(-1,5; 3).

7) рівняння прямої, що проходить через точку А, паралельно прямій ВС.

Её уравнение с коэффициентами как у прямой ВС 7x + y + С = 0.

Подставим координаты точки А(-7; 4).

7*(-7) + 4 + С = 0.

С = 49 – 4 = 45.

Получаем 7x + y + 45 = 0.