Question

тригонометричні рівняння і нерівність знайти корені рівняння 1-cos x = 2sin^2 x

Answer 1

1-cosx=2sin²x

триганометрична рівність cos²x+sin²x=1

1-cosx=2×(1-cos²x)

1-сosx=2-2cos²x

2cos²x-cosx-1=0

хай буде сosx=t, тоді ми отримуємо

2t²-t-1=0

звичайно можно вирішувати квадратічни рівняння через діскриминант, але я  візьму одну цікаву теорему

Якщо у рівняння типу ax²+bx+c=0 a+b+c=0, то х₁=1 х₂=с/а

2t²-t-1=0 a+b+c=2-1-1=0⇒ t₁=1  t₂=c/a=-1/2

повертаємося до заміни змінної

cosx=1                                             cosx=-0.5

x=2πn   n∈Z                                    x=±arccos(-0.5)+2πk   k∈Z

                                                        x=±(π-arccos(0.5) )+2πk  

                                                        x=±(π- π/3) + 2πk

                                                        x=2π/3 + 2πk