Question

Дано дифференциальное уравнение второго порядка, которое
допускает понижение порядка. Найти частное решение, которое
удовлетворяет заданным начальным условиям.

Answer 1

Ответ:

$y=-\ln(1-x).$

Объяснение:

Есть стандартный способ решения таких задач (в уравнении явно нет x,  поэтому теория рекомендует замену $y'=p(y);\ y''=p'\cdot y'=p'p.$

Но конкретно эту задачу можно сделать проще: заметим, что

$(e^y)'=e^y\cdot y',$ поэтому уравнение можно записать в виде $y''=(e^y)';\ y'=e^y+C;$ подставляя начальные условия, получаем

1=1+С⇒ C=0; $y'=e^y;\ \dfrac{dy}{dx}=e^y;\ e^{-y}\, dy=dx;\ \int e^{-y}\, dy=\int\, dx;$

$-e^{-y}=x+C;$ подставляя начальные условия, получаем -1=0+С⇒ С=-1; $e^{-y}=1-x;\ -y=\ln(1-x);\ y=-\ln(1-x).$