Question

Напишите пожалуйста решение
Найти вторые частные производные функции.
z=ctg(x+y)
Убедиться в том, что z"xy=z"yx.

Answer 1

$z=\mathrm{ctg}\,(x+y)$

Находим частные производные первого порядка:

$z'_x=(\mathrm{ctg}\,(x+y))'_x=-\dfrac{1}{\sin^2(x+y)} \cdot (x+y)'_x=$

$=-\dfrac{1}{\sin^2(x+y)} \cdot (1+0)=-\dfrac{1}{\sin^2(x+y)}=-\sin^{-2}(x+y)$

$z'_y=(\mathrm{ctg}\,(x+y))'_y=-\dfrac{1}{\sin^2(x+y)} \cdot (x+y)'_y=$

$=-\dfrac{1}{\sin^2(x+y)} \cdot (0+1)=-\dfrac{1}{\sin^2(x+y)}=-\sin^{-2}(x+y)$

Находим частные производные второго порядка:

$z''_{xx}=(-\sin^{-2}(x+y))'_x=-1\cdot(-2\sin^{-2-1}(x+y))\cdot (\sin(x+y))'_x=$

$=2\sin^{-3}(x+y)\cdot \cos(x+y)\cdot(x+y)'_x=\dfrac{2\cos(x+y)}{\sin^3(x+y)} \cdot(1+0)=\boxed{\dfrac{2\cos(x+y)}{\sin^3(x+y)}}$

$z''_{xy}=(-\sin^{-2}(x+y))'_y=-1\cdot(-2\sin^{-2-1}(x+y))\cdot (\sin(x+y))'_y=$

$=2\sin^{-3}(x+y)\cdot \cos(x+y)\cdot(x+y)'_y=\dfrac{2\cos(x+y)}{\sin^3(x+y)} \cdot(0+1)=\boxed{\dfrac{2\cos(x+y)}{\sin^3(x+y)}}$

$z''_{yx}=(-\sin^{-2}(x+y))'_x=-1\cdot(-2\sin^{-2-1}(x+y))\cdot (\sin(x+y))'_x=$

$=2\sin^{-3}(x+y)\cdot \cos(x+y)\cdot(x+y)'_x=\dfrac{2\cos(x+y)}{\sin^3(x+y)} \cdot(1+0)=\boxed{\dfrac{2\cos(x+y)}{\sin^3(x+y)}}$

$z''_{yy}=(-\sin^{-2}(x+y))'_y=-1\cdot(-2\sin^{-2-1}(x+y))\cdot (\sin(x+y))'_y=$

$=2\sin^{-3}(x+y)\cdot \cos(x+y)\cdot(x+y)'_y=\dfrac{2\cos(x+y)}{\sin^3(x+y)} \cdot(0+1)=\boxed{\dfrac{2\cos(x+y)}{\sin^3(x+y)}}$

Заметим, что $z''_{xy}=z''_{yx}$.

Можем заметить, что все четыре частные производные второго порядка равны, но в отличие от равенства $z''_{xy}=z''_{yx}$ в общем случае такое равенство всех четырех результатов выполняться не будет.