Question

С полным решением пожалуйста ​

Answer 1

Ответ:

  $z=arctg\frac{x}{y}\ \ ,\ \ \ F=\dfrac{\partial ^2z}{\partial x^2}+\dfrac{\partial ^2z}{\partial y^2}=0$  - доказать  .

При нахождении производной по переменной  х , вторую переменную  у считаем константой .

$\displaystyle \dfrac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{1+\frac{x^2}{y^2}}\cdot \frac{1}{y}=\frac{y^2}{x^2+y^2}\cdot \frac{1}{y}=\frac{y}{x^2+y^2}\\\\\\\dfrac{\partial ^2z}{\partial x^2}=\frac{-y\cdot 2x}{(x^2+y^2)^2}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}$  

При нахождении производной по переменной  у , вторую переменную  х считаем константой .

$\displaystyle \dfrac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{1+\frac{x^2}{y^2}}\cdot \frac{-x}{y^2}=\frac{y^2}{x^2+y^2}\cdot \frac{-x}{y^2}=-\frac{x}{x^2+y^2}\\\\\\\dfrac{\partial ^2z}{\partial y^2}=\frac{-x\cdot (-2y)}{(x^2+y^2)^2}=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}$

   $\displaystyle F=\dfrac{\partial ^2z}{\partial x^2}+\dfrac{\partial ^2z}{\partial y^2}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)}+\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}=0$  

Доказано .