Question

Даю 30 баллов
3sinx-4cosx=8

Answer 1

$3\sin x-4\cos x=8$

Используя идею метода вспомогательного аргумента, запишем:

$\dfrac{3}{\sqrt{3^2+4^2} } \sin x-\dfrac{4}{\sqrt{3^2+4^2} } \cos x=\dfrac{8}{\sqrt{3^2+4^2} }$

$\dfrac{3}{5 } \sin x-\dfrac{4}{5} \cos x=\dfrac{8}{5}$

Введем обозначения:

$\cos\alpha =\dfrac{3}{5} ;\ \sin\alpha =-\dfrac{4}{5}$

Можно убедиться, что такой угол $\alpha$ существует, так как:

$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha =\left(-\dfrac{4}{5}\right)^2+\left(\dfrac{3}{5} \right)^2=1$

Тогда получим уравнение вида:

$\sin x\cos\alpha +\cos x\sin\alpha =\dfrac{8}{5}$

Пользуясь формулой синуса суммы, получим:

$\sin (x+\alpha) =\dfrac{8}{5}$

Однако, так как синус любого аргумента принимает свои значения из отрезка от -1 до 1, то полученное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений