Question

20 различных книг расставляются наудачу на одной полке. Найти
вероятность того, что 4 определенные книги окажутся поставленными рядом.

Answer 1

Ответ:

Всего способов перестановки 20!

"Свяжем" четыре книги вместе в единую и сделаем вид, что там остаются 17 книг (4 книг считаем за одну и 16 остальных).

Их можно расставить 17! способами.

И еще те 4 книг можно поменять местами 4! способами.

Получается, что в общем могут получиться 4!×17! "благоприятных" нам результатов.

P(A)=m/n, где m – благоприятные результаты, n – всевозможные результаты.

$P(A) = \frac{4! \times 17!}{20!} = \frac{1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 17!}{17! \times 18 \times 19 \times 20} = \frac{1}{3 \times 19 \times 5 } = \frac{1}{285} \approx0.003$

Вероятность примерно 0,3%

Answer 2

Ответ:

$\dfrac{1}{285}.$

Пошаговое объяснение:

Задача на классическое определение вероятности - если пространство элементарных исходов состоит и n  равновероятных исходов, а событию А благоприятствует к исходов, то вероятность события А равна

                                                 $P(A)=\dfrac{k}{n}.$

Число различных расстановок 20 книг на полке - это число $P_{20}=20!$ перестановок из 20 предметов. Таким образом, n=20!.

Осталось найти к. Во-первых, задаем четыре соседних места для отмеченных книг Каждая такая четверка может быть задана первым местом, поэтому это могут быть четверки, начинающиеся  с первого места на полке, со второго, с третьего, и так далее, последняя четверка начинается с 17-го места (она занимает места 17-е, 18-е, 19-е и 20-е) -всего 17 возможностей. После выбора одной из этих четверок мест мы расставляем выбранные книги на этих выбранных местах - это $P_4=4!$ способов, а оставшиеся 16 книг расставляем на оставшихся 16 местах - это $P_{16}=16!$ способов. Поэтому число благоприятных способов равно $k=17\cdot 4!\cdot 16!$ , а вероятность такого события равна

                          $P(A)=\dfrac{17\cdot 4!\cdot 16!}{20!}=\dfrac{1}{285}.$