Question

Вычислить несобсвенные интегралы или установить их расходимость ​

Answer 1

Объяснение:

289.

$\int\limits^\infty_0 {x*sinx} \, dx = \lim\limits_{b \to \infty} \int\limits^b_0 {x*sinx} \, dx .$

                  Интегрирование по частям.

$\left | {{u=x\ \ \ \ \ \ \ \ \ du=dx} \atop {dv=sinxdx\ \ \ \ v=\int sinxdx=-cosx}} \right. |$

$=\lim\limits_{b \to \infty} (x*(-cosx)\ |_0^b-\int\limits^b_0 {(-cosx} )\, dx= \lim\limits_{n \to \infty} (-b*cosb-(-0*cos0)+sinx\ |_0^b)=\\ = \lim\limits_{b \to \infty} (-b*cosb-0+sinb-sin0)= \lim\limits_{b \to \infty} (sinb-b*cosb ) = \lim\limits_{b \to \infty}sinb- \lim\limits_{b \to \infty} b*cosb$

$\lim\limits_{b \to \infty} sinb\ -$ не существует;

$\lim\limits_{b \to \infty} cosb\ -$  не существует;         ⇒

$\lim\limits_{b \to \infty} (sinb-b*cosb)\ -$ не существует;         ⇒

$OTBET:\ \int\limits^\infty_0 {x*sinx} \, dx \ -$ расходится (см. график).

 

 

Answer 2

Ответ:

Найдём первообразную сначала. Применяем  метод интегрирования по частям .

$\displaystyle \int x\cdot sinx\, dx=\Big[\ u=x\, \ du=dx\ ,\ dv=sinx\, dx\ ,\ v=-cosx\ \Big]=uv-\int v\, du=\\\\=-x\cdot cosx+\int cosx\, dx=-x\cdot cosx+sinx+C\ .$

$\displaystyle \int\limits _{0}^{\infty }x\cdot sinx\, dx=\lim_{A \to \infty }\, \int\limits _{0}^{A}x\cdot sinx\, dx=\lim_{A \to \infty }\, \Big(-x\cdot cosx+sinx\Big)\Big|_0^{A}=\\\\\\=\lim_{A \to \infty }\Big (-A\cdot cosA+sinA+0\cdot cos0-sin0\ \Big )=\lim_{A \to \infty }\Big (-A\cdot cosA+sinA\ \Big )$

Такой предел не существует, т.к. не существуют пределы sinx и cosx при стремлении переменной к бесконечности .

Значит несобственный интеграл расходится .