Question

Помогите пожалуйста решить, срочно, щедро оценю ответ​

Answer 1

Ответ:

$l_1$ является прямолинейной образующей (то есть лежит на гиперболоиде); $l_2$ касается гиперболоида.

Объяснение:

Хочу обратить внимание на то, что данный гиперболоид - однополостный, а на нем есть прямолинейные образующие, а это не очень часто встречается у поверхностей 2-го порядка (они есть еще у гиперболического параболоида, конуса и цилиндров).

Для того, чтобы узнать взаимное расположение прямой и поверхности второго порядка, обычно советуют решить систему из 4 уравнений - три параметрических уравнения, задающих прямую, и уравнение, задающее поверхность. Во втором случае мы так и сделаем, а в первом упростим вычисления. Заметим, что из уравнений первой прямой следует, что x= - z, откуда x²=z², а подставив в уравнение гиперболоида еще y=2, получаем тождество 1=1. Поэтому все точки прямой лежат на гиперболоиде, то есть первая прямая является одной из прямолинейных образующих.

Переходим ко второй прямой. Подставив в уравнение гиперболоида вместо x, y и z их выражения через параметр t, получаем уравнение, из которого мы узнаем, при каких t точки прямой лежат на гиперболоиде. Имеем:

$\dfrac{(-1+3t)^2}{3}+\dfrac{(2+4t)^2}{4}-\dfrac{(1+3t)^2}{3}=1;$

$4(1-6t+9t^2)+3(4+16t+16t^2)-4(1+6t+9t^2)=12;$

$4-24t+36t^2+12+48t+48t^2-4-24t-36t^2=12;$

$48t^2=0;\ t_{1,\ 2}=0.$

Мы видим, что прямая имеет с гиперболоидом единственную точку, соответствующую значению t=0 (это точка (-1;2;1)). Но это не точка пересечения прямой и гиперболоида, а точка касания, поскольку корень t=0 кратный (вот если бы для t получилось линейное уравнение, например, t=0, или получилось квадратное уравнение с двумя различными корнями, то мы имели бы в первом случае одну точку пересечения,  а во втором случае две точки пересечения).