Знайти сторони прямокутника, вписаного в коло, якщо довжина кола дорівнює 18π см, а кут між діагоналями прямокутника - 60⁰ .
Ответы
Ответ:
Стороны равны
АВ = CD = 9 см;
BC = AD = 9√3 см.
Объяснение:
Найти стороны прямоугольника, вписанного в круг, если длина окружности равна 18π см, а угол между диагоналями прямоугольника - 60⁰ .
Дано: ABCD - прямоугольник;
Окр.О - описана около ABCD;
l = 18π см - длина окружности;
АС ∩ BD = O;
∠BOA = 60°
Найти: стороны ABCD.
Решение:
1. Рассмотрим ABCD.
- Вписанные прямые углы опираются на диаметр.
⇒ АС и BD - диаметры.
Формула длины окружности:
l = 2πR
Подставим данные значения в формулу и найдем радиус R:
18π = 2πR
R = 9 (см)
- Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.
⇒ ОA = ОС = ОB = OD = R = 9 см.
2. Рассмотрим ΔАОВ - равнобедренный.
Угол при вершине равен 60°.
- Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
⇒ ∠ОВА = ∠ОАВ
- Сумма углов треугольника равна 180°.
⇒ ∠ОВА = ∠ОАВ =(180° - 60°) : 2 = 60°
- Если в треугольнике все углы равны 60°°, то этот треугольник равносторонний.
⇒ ОВ = ОА = АВ = 9 см.
3. Рассмотрим ΔABD - прямоугольный.
АВ = 9 см; BD = 18 см.
По теореме Пифагора найдем AD:
AD² = BD² - AB² = 324 - 81 = 243
AD = √243 = 9√3 (см)
- Противоположные стороны прямоугольника равны.
⇒ стороны равны
АВ = CD = 9 см;
BC = AD = 9√3 см.
Или можно решить так.
Из ΔВОА:
Воспользуемся теоремой косинусов:
- Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон, умноженное на косинус угла между ними.
AB² = OA² + OB² - 2 · OA · OB ·cos 60°
AB² = 81 + 81 - 2 · 9 · 9 · 0,5
АВ = 9 см
Из ΔAOD:
AD² = AO² + OD² - 2 · AO · OD · cos (180° - 60°)
По формуле приведения:
cos (180° - 60°) = -cos 60°
AD² = 81 + 81 + 2 · 9 · 9 · 0,5 = 243
AD = √243 = 9√3 (см)
⇒ стороны равны
АВ = CD = 9 см;
BC = AD = 9√3 см.
#SPJ1
