Question

Срочно!
дані координати вершин трикутника АВС
А(2;-1) В(5;11) С(11;3).
Знайти: 1) довжину сторони АВ; 2) рівняння сторін АВ і ВС і їх
кутові коефіцієнти; 3) кут В в радіанах; 4) рівняння висоти СД і її
довжину; 5) рівняння медіани АЕ; 6) координати точки перетину
медіани АЕ і висоти СД; 7) рівняння прямої, що проходить через
точку А, паралельно прямій ВС. Зробити малюнок.

Answer 1

Дані координати вершин трикутника АВС

А(2;-1) В(5;11) С(11;3).

Знайти: 1) довжину сторони АВ;

длина стороны AB = √((5-2)² + (11-(-1)²) = √(9 + 144) = √153.

2) рівняння сторін АВ і ВС і їх кутові коефіцієнти;

Вектор АВ = ((5-2); (11-(-1)) = (3; 12), к = 12/3 = 4.

Вектор ВС = (11-5); (3-11)) = (6; -8), к = -8/6 = -4/3.

Уравнение АВ: у = кх + b. Подставим координаты точки А и к = 4.

-1 = 4*2 + b, отсюда b = -1 - 8 = -9.

Уравнение АВ: у = 4х – 9.

Уравнение ВC: у = кх + b. Подставим координаты точки В и к = (-4/3).

11 = (-4/3)*5 + b, отсюда b = 11+ (20/3)  = 53/3.

Уравнение ВС: у = (-4/3)х + (53/3).

3) кут В в радіанах;

Для этого надо знать векторы ВА и ВС.

Вектор ВА = -АВ = (-3; -12). Его модуль равен √(9 + 144) =√153.

Вектор ВС = (6; -8). Его модуль равен √36 + 64) =√100 = 10.

cos B = (-3*6 + (-12)*(-8)/(√153*10) = 78/(10√153) = 39(5√153).

Угол В = arccos(39/(5√153)) = 0,888479772 радиан или 50,90614111 градуса.  

4) рівняння висоти СД і її довжину;

Используем уравнение стороны АВ: у = 4х – 9.

У прямой, перпендикулярной к прямой АВ, угловой коэффициент равен к = -1/4.

Подставим координаты точки С(11;3) и коэффициент к = (-1/4).

3 = (-1/4)*11 + b, отсюда b = 3 + (11/4) = 23/4.

Получаем уравнение высоты CD:

y = (-1/4)х + (23/4) или в общем виде х + 4у – 23 = 0.

Длина высоты CD – это расстояние от точки С до прямой АВ.

Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My) до прямой Ax + By + C = 0 используем формулу:

d = |A·Mx + B·My + C|/√(A2 + B2

Подставим в формулу данные:

d = |4·11 + (-1)·3 + (-9)|/ √(42 + (-1)2)= |44 - 3 - 9|/√(16 + 1) =

= 32/√17 = 32√17/17 ≈ 7.761140

5) рівняння медіани АЕ;

Находим координаты точки Е как середины стороны ВС.

Е(11+5)/2; (3+11)/2) = (8; 7).

Вектор АЕ = ((8-2); (7-(-1))) = (6; 8).

Уравнение АЕ: (х – 2)/6 = (у + 1)/8. Это в каноническом виде.

Оно же в общем вид:

8х – 16 = 6у + 6,

8х – 6у – 22 = 0, сократив на 2: 4х - 3у - 11 = 0.

И в виде уравнения с угловым коэффициентом у = (4/3)х - (11/3).

6) координати точки перетину медіани АЕ і висоти СD;

AE: 4х - 3у - 11 = 0, |x4 = 16x – 12y – 44 = 0.

СD: х + 4у – 23 = 0 |x3 =    3x + 12y – 69 = 0

                                           19x          - 113 = 0.

x = 113/19, y = (4*(113/19) – 11))/3 = 81/19.

Точка пересечения ((113/19; (81/19)).

7) рівняння прямої, що проходить через точку А, паралельно прямій ВС.

Уравнение этой прямой у = (-4/3)х + b.

Подставим координаты точки А(2; -1).

-1 = (-4/3)*2 + b.

b = (8/3) – 1 = 5/3.

Получаем уравнение у = (-4/3)х + (5/3).