Question

Решите подробно пожалуйста , объяснив как интегрировать по частям .

$1. ~~ \displaystyle \int\limits x\cdot 2^{-x} \, dx \\\\\\ 2. ~~ \int\limits \frac{\ln x}{\sqrt{x} } \, dx$

Answer 1

Ответ:

Ответ на фото, удачи..!

Answer 2

Интегрирование по частям основано на следующей формуле:

$\int u\,dv=uv-\int v\,du$

При интегрировании нам нужно что-то под знаком интеграла обозначить за $u$, а что-то - за $dv$. Обратим внимание, что на основе этих обозначений для правой части нам нужно будет вычислить $du$ и $v$.

На основе вышесказанного, при выборе функций $u$ и $v$ обычно придерживаются следующих правил:

1. Функция $u$ при дифференцировании должна упрощаться (обычно в качестве этой функции выбирается многочлен, логарифм, арктангенс и т.п.)

2. Функция $v$ при интегрировании должна незначительно усложняться. Или другими словами, все что осталось после выбора функции $u$ обозначается за $dv$.

Рассматриваем первый интеграл:

$\int x\cdot2^{-x} \, dx$

Удобно обозначить: $u=x$. Тогда: $du=dx$.

Оставшееся выражение обозначаем за $dv$:

$dv=2^{-x} \, dx$

Проинтегрируем:

$v=\int2^{-x} \, dx=-\int2^{-x} \, d(-x)=-\dfrac{ 2^{-x}}{\ln2}$

Интегрируем по частям:

$\int x\cdot2^{-x} \, dx=x\cdot\left(-\dfrac{ 2^{-x}}{\ln2}\right)-\int\left(-\dfrac{ 2^{-x}}{\ln2}\right)\,dx=$

$=-\dfrac{x}{2^x\ln2}+\dfrac{1}{\ln2}\int2^{-x}\,dx=-\dfrac{x}{2^x\ln2}+\dfrac{1}{\ln2}\cdot\left(-\dfrac{ 2^{-x}}{\ln2}\right)+C=$

$=-\dfrac{x}{2^x\ln2}-\dfrac{ 2^{-x}}{\ln^22}+C=\boxed{-\dfrac{x}{2^x\ln2}-\dfrac{1}{2^x\ln^22}+C}$

Второй интеграл:

$\int \dfrac{\ln x}{\sqrt{x} } \, dx$

Удобно обозначить $u=\ln x$, так как при дифференцировании мы сможем избавиться от логарифма:

$du=\dfrac{dx}{x}$

Оставшееся выражение обозначаем за $dv$:

$dv=\dfrac{dx}{\sqrt{x} }$

Проинтегрируем:

$v=\int\dfrac{dx}{\sqrt{x} }=2\int\dfrac{dx}{2\sqrt{x} }=2\sqrt{x}$

Интегрируем по частям:

$\int \dfrac{\ln x}{\sqrt{x} } \, dx=\ln x\cdot 2\sqrt{x} -\int 2\sqrt{x}\cdot \dfrac{dx}{x} =2\sqrt{x}\ln x-2\int \dfrac{dx}{\sqrt{x} } =$

$=2\sqrt{x}\ln x-2\cdot 2\sqrt{x} +C=\boxed{2\sqrt{x}\ln x-4\sqrt{x} +C}$