Question

Рішіть будьласка дві задачі

Answer 1

Ответ:

$\large \boldsymbol{3. ~~ 10\dfrac{2}{3} } \\\\\\ \boldsymbol{4 .~~ \dfrac{3\pi -2 }{8} }$

Объяснение:
№3

Знайдіть площу фігури обмежену лініями y = x² - 3 і y = -2x

Находим точки пересечения

$\large \boldsymbol{}x^2 - 3 = -2x \\\\ x^2 + 2x - 3 =0 \\\\ (x +3)(x-1) =0 \\\\ x_1 =- 3 ~~ ; ~~ x_2 = 1$

Находим площадь с помощью  определенного интеграла


$\displaystyle \large \boldsymbol{} \int\limits^1_{-3} (x^2 +2x - 3)\, dx = \bigg ( \frac{x^3}{3} + x^2 -3x\bigg ) \bigg | ^{1} _{-3} = \\\\\\ =\frac{1}{3} +1 -3 - \bigg( -\frac{27}{3} + 9 +9 \bigg) = -11 + \frac{1}{3} = \tt- 10 \frac{2}{3}$

Т.к площадь не может быть отрицательной ,  конечное выражение берем в модуль

$\large \boldsymbol{}\pmb {\bigg|} \tt-10\dfrac{2}{3} \pmb {\bigg|} =10 \dfrac{2}{3}$

№4

Обчисліть Інтеграл     :

   $\large \boldsymbol {}\displaystyle \int\limits^{\tfrac{3\pi }{4} }_0 \cos ^2x {} \, dx$

Воспользуемся формулой понижения степени :

$\large \boldsymbol{\cos ^2x = \dfrac{1 + \cos2x}{2} }$

Также стоить запомнить формулу :

$\displaystyle \large \boldsymbol{\int\limits \cos (kx ) \, dx =\frac{1}{k} \cdot \sin (kx) + C }$



Тогда

$\large \boldsymbol {}\displaystyle \int\limits^{\tfrac{3\pi }{4} }_0 \cos ^2x {} \, dx = \int\limits^{\tfrac{3\pi }{4} }_0\frac{ \cos 2x + 1}{2} {} \, dx = \frac{1}{2} \int\limits^{\tfrac{3\pi }{4} }_0 (\cos 2x +1 ) \, dx =$

$\displaystyle \large \boldsymbol{} \bigg (\frac{1}{2}\cdot\bigg( \frac{1}{2}\cdot \sin 2x+x \bigg) \bigg ) \Bigg | ^{\tfrac{3\pi }{4} } _{0 } = \bigg( \frac{1}{2} x+ \frac{\sin 2x}{4} \bigg ) \Bigg | ^{\tfrac{3\pi }{4} } _{0 } = \\\\\\ \bigg(\frac{3\pi }{8} + \sin \tfrac{3\pi }{2} - \sin 0 -0 \bigg) = \frac{3\pi }{8} - \frac{1}{4} = \frac{3\pi -2 }{8}$