Question

Решите пожалуйста
cos5x-cosx=sin3x(2cos4x+1)

Answer 1

Формула разности косинусов:

$\cos\alpha -\cos\beta =-2\sin\dfrac{\alpha +\beta }{2} \sin\dfrac{\alpha -\beta }{2}$

Формула косинуса двойного угла:

$\cos2\alpha =1-2\sin^2\alpha$

Рассмотрим уравнение:

$\cos5x-\cos x=\sin3x(2\cos4x+1)$

$-2\sin\dfrac{5x+x}{2}\sin\dfrac{5x-x}{2}=\sin3x(2\cos4x+1)$

$-2\sin3x\sin2x=\sin3x(2\cos4x+1)$

$-2\sin3x\sin2x-\sin3x(2\cos4x+1)=0$

$-\sin3x(2\sin2x+2\cos4x+1)=0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

Решаем первое уравнение:

$\sin3x=0$

$3x=\pi n$

$\boxed{x=\dfrac{\pi n}{3} ,\ n\in\mathbb{Z}}$

Решаем второе уравнение:

$2\sin2x+2\cos4x+1=0$

$2\sin2x+2(1-2\sin^22x)+1=0$

$2\sin2x+2-4\sin^22x+1=0$

$-4\sin^22x+2\sin2x+3=0$

$4\sin^22x-2\sin2x-3=0$

Решаем квадратное уравнение относительно синуса:

$D=(-1)^2-4\cdot(-3)=13$

$\sin2x=\dfrac{1\pm\sqrt{13} }{4}$

Заметим, что $\dfrac{1+\sqrt{13} }{4} > 1$. Но поскольку синус принимает свои значение из отрезка от -1 до 1, то уравнение $\sin2x=\dfrac{1+\sqrt{13} }{4}$ не имеет решений.

Решаем другое уравнение:

$\sin2x=\dfrac{1-\sqrt{13} }{4}$

$2x=(-1)^k\arcsin\dfrac{1-\sqrt{13} }{4}+\pi k$

$\boxed{x=\dfrac{(-1)^k}{2} \arcsin\dfrac{1-\sqrt{13} }{4}+\dfrac{\pi k}{2} ,\ k\in\mathbb{Z}}$

Ответ: $\dfrac{\pi n}{3};\ \dfrac{(-1)^k}{2} \arcsin\dfrac{1-\sqrt{13} }{4}+\dfrac{\pi k}{2},\ n,k\in\mathbb{Z}$