Question

ДАЮ 100 БАЛЛОВ! С РЕШЕНИЕМ.
Обчислити площу плоскої фігури, обмеженої заданими кривими.
Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными кривыми.

Answer 1

Ответ:

Площадь плоской фигуры, ограниченной заданными кривыми:

y = (x + 2)²,   y = 0,   y = 4 - x, равна $\displaystyle 10\frac{2}{3}$  (ед²)

Пошаговое объяснение:

Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными кривыми:

y = (x + 2)²,   y = 0,   y = 4 - x.

Определим искомую площадь.

1. у = (х + 2)²

- квадратичная функция, график - парабола.

Данный график получается из графика у = х² путем смещения на 2 единицы влево.

⇒ Координаты вершины (-2; 0)

2. у = 0

График - ось Ох.

3. у = 4 - х

- линейная функция, график прямая.

Найдем точку пересечения с осью Ох:

0 = 4 - х ⇒ х = 4

4. Теперь найдем точку пересечения графиков

у = (х + 2)²  и  у = 4 - х

х² + 4х + 4 = 4 - х

х (х + 5) = 0

х = 0; х = -5.

Получили искомую площадь (см. рис.). Она состоит из двух площадей, одна из которых ограничена сверху параболой у = (х + 2)², вторая - прямой у = 4 - х.

Площадь найдем по формуле:

$\displaystyle \boxed { S=\int\limits^b_a {(y_2(x)-y_1(x))} \, dx }$

Так же нам понадобится формула Ньютона - Лейбница:

$\displaystyle \boxed {\int\limits^b_a {f(x)} \, dx =F(x)\bigg|^b_a=F(b)-F(a)}$

Найдем площадь:

$\displaystyle S = S_1+S_2=\int\limits^{0}_{-2} {(x^2+4x+4-0)} \, dx +\int\limits^4_0 {(4-x-0)} \, dx =\\\\=\left(\frac{x^3}{3}+4\cdot\frac{x^2}{2}+4x\right)\bigg|^0_{-2}+\left(4x-\frac{x^2}{2}\right)\bigg|^4_0= \\\\=0-\left(-\frac{8}{3}+8-8)+(16-8)-0=\\ \\=\frac{8}{3}+8=10\frac{2}{3}$

Площадь плоской фигуры, ограниченной заданными кривыми:

y = (x + 2)²,   y = 0,   y = 4 - x, равна $\displaystyle 10\frac{2}{3}$  (ед²)