Question

Знайти повний диференціал функції кількох змінних:
$z = y^4+\frac{y}{x}$

Answer 1

Ответ:

Полный дифференциал функции нескольких переменных:

$\displaystyle z=y^4+\frac{y}{x}$  равен

$\displaystyle dz=-\frac{y}{x^2}dx+\left(4y^3+\frac{1}{x}\right) dy$

Пошаговое объяснение:

Найти полный дифференциал функции нескольких переменных:

$\displaystyle z=y^4+\frac{y}{x}$

Полный дифференциал найдем по формуле:

$\displaystyle \boxed {dz=\frac{\partial {z}}{\partial {x}}dx+\frac{\partial {z}}{\partial {y}}dy }$

Найдем частные производные:

1. Найдем  $\displaystyle \frac{\partial {z}}{\partial {x}}$ ,считаем у постоянным числом:

$\displaystyle \frac{\partial {z}}{\partial {x}} =\left(y^4+\frac{y}{x}\right)'_x=0+y\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right) =\\\\=-\frac{y}{x^2}$

2. Найдем  $\displaystyle \frac{\partial {z}}{\partial {y}}$ ,считаем x постоянным числом:

$\displaystyle \frac{\partial {z}}{\partial {y}} =\left(y^4+\frac{y}{x}\right)'_y=4y^3+\frac{1}{x}$

3. Найдем полный дифференциал, подставив найденные значения в формулу:

$\displaystyle dz=-\frac{y}{x^2}dx+\left(4y^3+\frac{1}{x}\right) dy$

#SPJ1