Question

требуется решение подпункта 17​

Answer 1

Ответ:

$x=0.\ x > 0\Rightarrow y+\sqrt{x^2+y^2}=Cx^2;\ C > 0.\ x < 0\Rightarrow y-\sqrt{x^2+y^2}=C;\ C < 0$

Пошаговое объяснение:

$x\, dy-y\, dx=\sqrt{x^2+y^2}\, dx;$  замена y=ux; dy=x du+u dx;

$x(x\, du+u\, dx)-ux\, dx=\sqrt{x^2(1+u^2)}\, dx;\ x^2\, du=|x|\sqrt{1+u^2}\, dx.$

1 случай: x=0 - решение.

2 случай: x>0⇒|x|=x;  $x^2\, du=x\sqrt{1+u^2}\, dx;\ \dfrac{du}{\sqrt{1+u^2}}=\dfrac{dx}{x};$

$\int\dfrac{du}{\sqrt{1+u^2}}=\int\dfrac{dx}{x};\ \ln(u+\sqrt{1+u^2})=\ln x+\ln C;\ C > 0;$

$u+\sqrt{1+u^2}= Cx;\, \dfrac{y}{x}+\sqrt{1+\dfrac{y^2}{x^2}}=Cx;$

$y+\sqrt{x^2+y^2}=Cx^2.$

3 случай: x<0⇒|x|= - x;   $x^2\, du=-x\sqrt{1+u^2}\, dx;\ \int\dfrac{du}{\sqrt{1+u^2}}=-\int\dfrac{dx}{x};$

$\ln(u+\sqrt{1+u^2})=-\ln(-x)+\ln C;\ C > 0;$

$u+\sqrt{1+u^2}=-\dfrac{C}{x};\ \dfrac{y}{x}+\sqrt{1+\dfrac{y^2}{x^2}}=-\dfrac{C}{x};\ y-\sqrt{x^2+y^2}=-C.$