Question

Помогите пожалуйста решить двойной интеграл

Answer 1

Ответ:

Данный двойной интеграл равен $\displaystyle 67\frac{19}{35}$

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle \int\limits {\int\limits_D {f(x,y)} \, dx } \, dy$
$\displaystyle D: y=x^3; \\ y=8; \\ y=0; \\ x=3.$
Нарисуем графики на одной плоскости(см. вложение)
Из рисунка видно, что площадь искомой фигуры(закрашена фиолетовым) изменяется 2 раза следующим образом:
а) 0≤x≤2 и 0≤y≤x³
б) 2≤x≤3 и 0≤y≤8
$\displaystyle \int\limits {\int\limits_D {f(x,y)} \, dx } \, dy= \int\limits^2_0 dx{\int\limits^{x^3}_{0} {(x+y)} \, } \, dy+\int\limits^3_2 dx{\int\limits^{8}_{0} {(x+y)} \ } \, dy = \int\limits^2_0 {(xy|^{x^3}_0+\frac{y^2}{2}|^{x^3}_0) } \, dx +$
$\displaystyle +\int\limits^3_2 {(xy|^{8}_0+\frac{y^2}{2}|^{8}_0) } \, dx =\int\limits^2_0 {(x*(x^3-0)+\frac{(x^3)^2-0^2}{2} )} \, dx +\int\limits^3_2 {(x*(8-0)+\frac{8^2-0^2}{2} )} \, dx =$
$\displaystyle =\int\limits^2_0 {(x^4+\frac{x^6}{2} )} \, dx+\int\limits^3_2 {(8x+\frac{64}{2} )} \, dx = \int\limits^2_0 {x^4} \, dx+\frac{1}{2} \int\limits^2_0 {x^6} \, dx +8\int\limits^3_2 {x} \, dx+32\int\limits^3_2 {dx} \, =$
$\displaystyle =\frac{x^5}{5}|^{2}_{0}+\frac{1}{2}*\frac{x^7}{7}|^{2}_{0} +8*\frac{x^2}{2}|^{3}_{2} +32*x|^{3}_{2} =\frac{1}{5}*(2^5-0^5)+\frac{1}{14}*(2^7-0^7)+$
$\displaystyle +4*(3^2-2^2)+32*(3-2)= \frac{32}{5}+\frac{128}{14}+4*5+32 =\frac{32*7+64*5}{5*7}+52 =$
$\displaystyle =\frac{224+320}{35}+52 = \frac{544}{35} +52=15\frac{19}{35}+52 = 67\frac{19}{35}$

Также можно решить через dydx и один интеграл. Тогда двойной интеграл будет выглядеть как:
$\displaystyle \int\limits {\int\limits_D {f(x,y)} \, dx } \, dy= \int\limits^8_0 dy{\int\limits^{3}_{\sqrt[3]{y} } {(x+y)} \, } \, dx$
Конечный результат будет тем же