Question

Задание приложено...

Answer 1

Ответ:

а) $\boxed{ \boldsymbol{\Delta = 48} }$

б) $\boxed{ \boldsymbol{\Delta = 20} }$

Примечание:

При сложение элементов какой-либо строки (какого-либо столбца) с соответствующими элементами другой строки (столбца) умноженными на некоторое число определитель матрицы не меняется.

Определитель матрицы не меняется при элементарных преобразованиях матрицы.

$r_{n}$ - строка с номером n

$c_{n}$ - столбец с номером n

Треугольная матрица:

$\left|\begin{array}{ccccc}\normblue{a_{11}} & a_{12} & a_{13} & \ldots & a_{1n}\\0 & \normblue{a_{22}} & a_{23} & \ldots & a_{2n}\\0 & 0 & \normblue{a_{33}} & \ldots & a_{3n}\\. & . & . & \ldots & .\\0 & 0 & 0 & \ldots & \normblue{a_{nn}}\end{array} \right|$

Определитель треугольной матрицы есть произведение всех элементов матрицы находящихся на главной диагонали.

Объяснение:

а)

$\Delta = \begin{vmatrix} 1& 2 & 3 & 4 \\ 0 &2 & 5 & 9 \\0 & 0 &3 & 7 \\ -2 & -4 & -6 & 0\end{vmatrix} r_{4} + 2r_{1} = \begin{vmatrix} 1& 2 & 3 & 4 \\ 0 &2 & 5 & 9 \\0 & 0 &3 & 7 \\ -2 + 2 \cdot 1 & -4 + 2 \cdot 2 & -6 + 2 \cdot 3 & 0+ 2 \cdot4\end{vmatrix} =$

$= \begin{vmatrix} 1& 2 & 3 & 4 \\ 0 &2 & 5 & 9 \\0 & 0 &3 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 8 \end{vmatrix} = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 8 = 6 \cdot 8 = 48$

б)

$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 5 & 9 \\ 1 & -1 & 7 & 4 \\ 1 & 3 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4\end{vmatrix} r_{2} - r_{1}; r_{3} - r_{1}; r_{4} - r_{1} =$

$= \begin{vmatrix} 1 & -2 & 5 & 9 \\ 1 - 1 & -1 -(-2) & 7 - 5 & 4 - 9 \\ 1 - 1 & 3 - (-2) & 3 - 5 & 4 - 9 \\ 1 - 1 & 2 - (-2) & 3 - 5 & 4 - 9\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 5 & 9 \\ 0 & 1 & 2 &-5 \\ 0 & 5 & -2 & -5 \\ 0 & 4 & -2 & -5\end{vmatrix}c_{2} + c_{4}=$

$= \begin{vmatrix} 1 & -2 + 9 & 5 & 9 \\ 0 & 1 -5 & 2 &-5 \\ 0 & 5 -5 & -2 & -5 \\ 0 & 4 - 5 & -2 & -5\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 7& 5 & 9 \\ 0 & -4 & 2 &-5 \\ 0 & 0& -2 & -5 \\ 0 & -1 & -2 & -5\end{vmatrix}r_{4} - r_{3} =$

$= \begin{vmatrix} 1 & 7& 5 & 9 \\ 0 & -4 & 2 &-5 \\ 0 & 0& -2 & -5 \\ 0 - 0 & -1 - 0& -2 -(-2) & -5 - (-5)\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 7& 5 & 9 \\ 0 & -4 & 2 &-5 \\ 0 & 0& -2 & -5 \\ 0 & -1 &0 & 0\end{vmatrix}r_{2} - 5r_{4}=$

$= \begin{vmatrix} 1 & 7& 5 & 9 \\ 0 - 0 \cdot 5 & -4 - (-1) \cdot 5 & 2 - 0 \cdot 5 &-5- 0 \cdot 5 \\ 0 & 0& -2 & -5 \\ 0 & -1 &0 & 0\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 7& 5 & 9 \\ 0 & 1 & 2 &-5 \\ 0 & 0& -2 & -5 \\ 0 & -1 &0 & 0\end{vmatrix}r_{2} + r_{3}=$

$= \begin{vmatrix} 1 & 7& 5 & 9 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 2 -2 &-5-5 \\ 0 & 0& -2 & -5 \\ 0 & -1 &0 & 0\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 7& 5 & 9 \\ 0 & 1 &0 &-10 \\ 0 & 0& -2 & -5 \\ 0 & -1 &0 & 0\end{vmatrix}r_{4} + r_{2} =$

$= \begin{vmatrix} 1 & 7& 5 & 9 \\ 0 & 1 &0 &-10 \\ 0 & 0& -2 & -5 \\ 0 + 0 & -1 + 1 &0 + 0 & 0 - 10\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 7& 5 & 9 \\ 0 & 1 &0 &-10 \\ 0 & 0& -2 & -5 \\ 0 & 0&0& - 10\end{vmatrix} = 1 \cdot 1 \cdot (-2) \cdot (-10) = 20$