Question

Задание приложено...

Answer 1

Ответ:

а) $\boxed{ \boldsymbol{ A^{-1} = \dfrac{1}{6} \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} }}$

б) Не существует

в) $\boxed{ \boldsymbol{ A^{-1} = \dfrac{1}{10} \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ -4 & -6 & 8 \\ 5 & 0 & -5 \end{pmatrix}}}$

Примечание:

Теорию к задачам смотрите в прикрепленных файлах!

Объяснение:

27

а)

$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 0 \end{pmatrix}$

Пусть $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 0 \end{pmatrix}$

$\text{det} \ A = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 0 \end{vmatrix} = 0 \cdot 1 - 2 \cdot (-3) = 0 - (-6) = 6$

Так как $\text{det} \ A \neq 0$, то матрица $A$ имеет обратную матрицу $A^{-1}$.

Алгебраические дополнения матрицы $A:$

$A_{11} = (-1)^{1 + 1}|0| =0$

$A_{12} = (-1)^{1 + 2}|-3| = - |-3| = 3$

$A_{21} = (-1)^{ 2 + 1 }|2| = - |2| = -2$

$A_{22} = (-1)^{2 + 2}|1| = 1$

$A^{*} = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ - союзная матрица

$A^{-1} = \dfrac{1}{\text{det} \ A} \cdot A^{*} = \dfrac{1}{6} \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ - обратная матрица

б)

$\begin{pmatrix} 1 & - 3 & 4 \\ -3 & 5 & 6 \\ -2 & 2 & 10 \end{pmatrix}$

Пусть $A = \begin{pmatrix} 1 & - 3 & 4 \\ -3 & 5 & 6 \\ -2 & 2 & 10 \end{pmatrix}$

$\text{det} \ A = \begin{vmatrix} 1 & - 3 & 4 \\ -3 & 5 & 6 \\ -2 & 2 & 10 \end{vmatrix}c_{1} + c_{2} = \begin{vmatrix} 1 -3 & - 3 & 4 \\ -3 + 5 & 5 & 6 \\ -2 + 2 & 2 & 10 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -2 & - 3 & 4 \\2 & 5 & 6 \\ 0 & 2 & 10 \end{vmatrix}r_{2} + r_{1} =$

$= \begin{vmatrix} -2 & - 3 & 4 \\2 + (-2) & 5 + (-3) & 6 + 4 \\ 0 & 2 & 10 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -2 & - 3 & 4 \\0 & 2 & 10 \\ 0 & 2 & 10 \end{vmatrix} =$

Вычислим определитель по 1 столбцу согласно теореме Лапласа:

$= a_{11} \cdot A_{11} + a_{21} \cdot A_{21} + a_{31} \cdot A_{31} =-2 \cdot A_{11} + 0\cdot A_{21} +0 \cdot A_{31} = A_{21} = -2 A_{11}=$

$=-2\cdot (-1)^{1 + 1} \begin{vmatrix} 2 & 10 \\ 2 & 10 \end{vmatrix} = 2 \cdot 10 - 2 \cdot 10 = 20 - 20 = 0$

Так как $\text{det} \ A = 0$, то обратной матрицы не существует.

в)

$\begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & -2 \\ 3 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

Пусть $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & -2 \\ 3 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

$\text{det} \ A = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & -2 \\ 3 & 1 & -1 \end{vmatrix} r_{1} + r_{2}; r_{3} + r_{2}; = \begin{vmatrix} 3 + 2 & 1 - 1 & 1 - 2\\ 2 & -1 & -2 \\ 3 + 2 & 1 - 1 & -1 -2 \end{vmatrix} =$

$= \begin{vmatrix} 5& 0& -1\\ 2 & -1 & -2 \\ 5& 0& -3 \end{vmatrix} =$

Вычислим определитель по 2 столбцу согласно теореме Лапласа:

$= a_{12} \cdot A_{12} + a_{22} \cdot A_{22} + a_{32} \cdot A_{32} = 0 \cdot A_{12} + (-1) \cdot A_{22} + 0 \cdot A_{32} = - A_{22}=$

$= -1 \cdot (-1)^{2 + 2} \begin{vmatrix} 5 & -1 \\ 5 & -3 \end{vmatrix} = -(5 \cdot (-3) - 5 \cdot (-1)) = -( -15 + 5) = 10$

Так как $\text{det} \ A \neq 0$, то матрица $A$ имеет обратную матрицу $A^{-1}$.

Алгебраические дополнения матрицы $A:$

$A_{11} = (-1)^{1 + 1} \begin{vmatrix} -1 & -2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -1 & -2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = (-1) \cdot (-1) - 1 \cdot(-2) = 1 + 2 = 3$

$A_{12} = (-1)^{1 + 2} \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = -(2 \cdot (-1) - 3 \cdot (-2)) = -(-2 + 6) =-4$

$A_{13} = (-1)^{1 + 3} \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot 1 - 3 \cdot (-1) = 2 + 3 = 5$

$A_{21} = (-1)^{2 + 1} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -(1 \cdot (-1) - 1 \cdot 1) = -(-1 - 1) = 2$

$A_{22} = (-1)^{2 + 2} \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = 3\cdot (-1) - 3 \cdot 1 = -3 - 3 = -6$

$A_{23} = (-1)^{2 + 3} \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = -(3 \cdot 1 - 3 \cdot 1) = -(3 - 3) = 0$

$A_{31} = (-1)^{3 + 1} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} = -2 \cdot 1 -1 \cdot (-1) = -2 + 1 =-1$

$A_{32} = (-1)^{3 + 2} \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -(3 \cdot (-2) - 2\cdot 1) = -(-6 - 2) = 8$

$A_{33} = (-1)^{3 + 3} \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 3\cdot (-1) - 2 \cdot 1 = -3 - 2 = -5$

$A^{*} = \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ -4 & -6 & 8 \\ 5 & 0 & -5 \end{pmatrix}$- союзная матрица

$A^{-1} = \dfrac{1}{\text{det} \ A} \cdot A^{*} = \dfrac{1}{10} \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ -4 & -6 & 8 \\ 5 & 0 & -5 \end{pmatrix}$ - обратная матрица