Question

ДУЖЕ ТЕРМІНОВО ПОТРІБНО!!! Апофема правильної чотирикутної піраміди дорівнює 4√2. Знайдіть об'єм піраміди, якщо двогранний кут при основі дорівнює 45°.

Answer 1

Ответ:

$\boldsymbol{V=85\dfrac{1}{3}}$  куб. ед.

Объяснение:

Пирамида правильная, значит основание - квадрат, а высота проецируется в точку пересечения диагоналей квадрата.

Н - середина CD, тогда SH - апофема пирамиды.

SH = 4√2

SH⊥CD, OH - проекция SH на плоскость основания, значит ОН⊥CD по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах.

∠SHO = 45° - линейный угол двугранного угла при ребре основания.

Рассмотрим ΔSOH:

∠SOH = 90°, ∠SHO = 45°, ⇒ ∠HSO = 45°, треугольник равнобедренный.

SO = OH = x

По теореме Пифагора:

SH² = SO² + OH²

(4√2)² = x² + x²

2x² = 32

x² = 16

x = 4     (x = - 4 не подходит по смыслу задачи)

SO = 4 - высота пирамиды

AD = 2OH = 2 · 4 = 8, так как ОН - средняя линия треугольника ACD.

Sabcd = AD² = 8² = 64

Объем пирамиды:

$V=\dfrac{1}{3}S_{ABCD}\cdot SO=\dfrac{1}{3}\cdot 64\cdot 4=\dfrac{256}{3}$

$\boldsymbol{V=85\dfrac{1}{3}}$