Question

ПОЖАЛУЙСТА, ОЧЕНЬ СРОЧНО ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ
$4\sqrt{x} +\sqrt{4-x^{2} }=x+4$

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

$4\sqrt{x}+\sqrt{4-x^2}=x+4\\4-4\sqrt{x}+x=\sqrt{4-x^2}\\\left(2-\sqrt{x}\right)^2=\sqrt{4-x^2}\\\left(2-\sqrt{x}\right)^4=4-x^2$

Замена: $t=2-\sqrt{x},\;\Rightarrow\;x=\left(2-t\right)^2$ при условии, что $t\le2$.

$t^4=4-(2-t)^4\\2t^4-8t^3+24t^2-32t+12=0\\t^4-4t^3+12t^2-16t+6=0\\\left(t^4-4t^3+4t^2\right)+8(t^2-2t)+6=0\\\left(t^2-2t\right)^2+8(t^2-2t)+6=0$

Замена: $z=t^2-2t$.

$z^2+8z+6=0$

Корни этого уравнения очевидны:

$\left[\begin{array}{c}z=-4-\sqrt{10}\\z=-4+\sqrt{10}\end{array}\right;$

Обратная замена:

$\left[\begin{array}{c}t^2-2t+4+\sqrt{10}=0\\t^2-2t+4-\sqrt{10}=0\end{array}\right;$

Уравнения имеют структуру $t^2-2t+q=0$.

Тогда $\sqrt{D/4}=\sqrt{1-q},\;\Rightarrow\;t=1\pm\sqrt{1-q}$.

$\left[\begin{array}{c}t=1-\sqrt{\sqrt{10}-3}\\t=1+\sqrt{\sqrt{10}-3}\end{array}\right;$

(первое уравнение корней не имеет, так как $4+\sqrt{10} > 1$ очевидно)

Обратная замена (легко видно, что все $t\le2$):

$\left[\begin{array}{c}2-\sqrt{x}=1-\sqrt{\sqrt{10}-3}\\2-\sqrt{x}=1+\sqrt{\sqrt{10}-3}\end{array}\right;$

Решение совокупности очевидно:

$\left[\begin{array}{c}\sqrt{x}=1+\sqrt{\sqrt{10}-3}\\\sqrt{x}=1-\sqrt{\sqrt{10}-3}\end{array}\right,\;\Rightarrow\;\left[\begin{array}{c}x=\left(1+\sqrt{\sqrt{10}-3}\right)^2\approx1.968\\x=\left(1-\sqrt{\sqrt{10}-3\right)^2\approx0.357\end{array}\right;$

Уравнение решено!