Question

Z = ln (x^2+xy+y^2)
Найти частные производные и полный дифференциал функции.
Потробно и полностью распишите пожалуйста

Answer 1

Полный дифференциал функции:

$dz=\dfrac{\partial z}{\partial x} dx+\dfrac{\partial z}{\partial y} dy$

Рассмотрим функцию:

$z=\ln (x^2+xy+y^2)$

Находим частные производные:

$\dfrac{\partial z}{\partial x} =\left(\ln (x^2+xy+y^2)\right)'_x=\dfrac{1}{x^2+xy+y^2} \cdot(x^2+xy+y^2)'_x=$

$=\dfrac{1}{x^2+xy+y^2} \cdot(2x+y+0)=\dfrac{2x+y}{x^2+xy+y^2}$

$\dfrac{\partial z}{\partial y} =\left(\ln (x^2+xy+y^2)\right)'_y=\dfrac{1}{x^2+xy+y^2} \cdot(x^2+xy+y^2)'_y=$

$=\dfrac{1}{x^2+xy+y^2} \cdot(0+x+2y)=\dfrac{x+2y}{x^2+xy+y^2}$

Записываем полный дифференциал функции:

$dz=\dfrac{2x+y}{x^2+xy+y^2}dx+\dfrac{x+2y}{x^2+xy+y^2}dy$