Question

Решить неопределённый интеграл

Answer 1

Ответ:

$-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\ {\rm arctg}\ \left(\sqrt{2}\ {\rm ctg}\ 2x\right)+C$

Пошаговое объяснение:

$\int\frac{dx}{\sin^4x+\cos^4x}=\int\frac{dx}{\sin^4x+2\sin^2x\cdot \cos^2x+\cos^4x-2\sin^2x\cos^2x}=\int\frac{dx}{(\sin^2x+\cos^2x)^2-\frac{1}{2}\sin^22x}=$

$=\int\frac{2dx}{2-\sin^22x}=\int\frac{d(2x)}{2-\sin^22x}=||2x=t||=\int\frac{dt}{\sin^2t(\frac{2}{\sin^2t}-1)}=-\int\frac{d\,{\rm ctg} t}{2({\rm ctg}^2t+1)-1}=$

$=||{\rm ctg}t=p||=-\int\frac{dp}{2p^2+1}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\int\frac{d(\sqrt{2}p)}{(\sqrt{2}p)^2+1}=||\sqrt{2}p=q||=-\frac{\sqrt{2}}{2}\int\frac{dq}{q^2+1}=$

$=-\frac{\sqrt{2}}{2}{\rm arctg}\ q+C=-\frac{\sqrt{2}}{2}{\rm arctg}\ (\sqrt{2}p)+C=-\frac{\sqrt{2}}{2}{\rm arctg}\ (\sqrt{2}\ {\rm{ctg}\ t)+C=$

$=-\frac{\sqrt{2}}{2}\ {\rm arctg}\ (\sqrt{2}\ {\rm ctg}\ 2x)+C$

Мы использовали следующие формулы:

                                         (a+b)²=a²+2ab+b²;

                                            sin²x+cos²x=1;

                                         2sin x· cos x= sin 2x;

                                            $d\, {\rm ctg}\ x=-\frac{dx}{\sin^2 x};$

                                           ${\rm ctg}^2\ x+1=\frac{1}{\sin^2 x}.$