Question

Дано точки А(0;3) В(7;2) С(4;1) задано точки А, B, C знайти 1) рівняння прямої ВС; 2) рівняння прямої яка проходить через точку А паралельно до прямої ВС; 3)кут АВС; 4) рівняння та довжину медіани в трикутнику АВС яка проведена з вершини А; 6)знайти точку А1 яка симетрична точці А відносно прямої ВС.​

Answer 1

Дано точки А(0;3), В(7;2), С(4;1).

Знайти 1) рівняння прямої ВС;

Находим уравнение стороны ВС по точкам В(7;2), С(4;1)

Вектор ВС = ((4-7); 1-2))) = (-3; -1).

Уравнение ВС: (х - 7)/(-3) = (у - 2)/(-1)

-x + 7 = -3y + 6

x - 3y - 1 = 0 или y = (1/3)x – (1/3).

2) рівняння прямої яка проходить через точку А паралельно до прямої ВС;

Уравнение этой прямой x - 3у + C = 0.

Подставим координаты точки А(0; 3).

0 – 3*3 + C = 0.

        Отсюда С = 9.

Получаем уравнение x - 3у + 9 = 0.

3)кут АВС;

Находим векторы ВА и ВС.

Вектор ВА = (0-7; 3-2) = (-7; 1). Его модуль равен √(49 + 1) =√50 = 5√2.

Вектор ВС == (4-7; 1-2) (-3; -1). Его модуль равен √9 + 1) = √10.

cos B = (-7*(-3) + 1*(-1)/(5√2*√10) = 20/(10√5) = 2/√5.

Угол В = arccos(2/(√5)) = 0,463648 радиан или 26,56505 градуса.  

4) рівняння та довжину медіани в трикутнику АВС яка проведена з вершини А;

Находим координаты точки Е как середины стороны ВС.

Точки А(0; 3), В(7; 2), С(4; 1).

Е(7+4)/2; (2+1)/2) = (5,5; 1,5).

Вектор АЕ = ((0-5,5); (3-1,5))) = (-5,5; 1,5).

Уравнение АЕ: (х – 0)/(-5,5) = (у - 3)/(1,5) или х/(-11) = (у - 3)/3 .

Это в каноническом виде.

Оно же в общем виде:

3х = -11у + 33,

3х + 11у – 33 = 0.

И в виде уравнения с угловым коэффициентом у = (-3/11)х + 11.

5) знайти точку А1, яка симетрична точці А відносно прямої ВС.

Используем уравнение стороны ВС: y = (1/3)x – (1/3).

У прямой, перпендикулярной к прямой BC, угловой коэффициент равен к = -1(1/3) = -3.

Тогда уравнение перпендикуляра у = -3х + b.

Подставим координаты точки A(0; 3).

3 = (-3)*0 + b, отсюда b = 3.

Получаем уравнение высоты АD:

y = -3х + 3 или в общем виде 3х + у – 3 = 0.

Находим точку пересечения прямой ВС и высоты к ней.

ВС: x - 3y - 1 = 0               x - 3y - 1 = 0

АD: 3х + у – 3 = 0|x3 =   9х + 3у – 9 = 0.

                                        10x      -10 = 0.      

x = 10/10 = 1, y = 3 – 3x = 3 – 3*1 = 0.

Точка пересечения D(1; 0).

Теперь ищем точку А1, симметричную точке А относительно прямой ВС.

x(A1) = 2x(D) – x(A) = 2*1 – 0 = 2.

y(A1) = 2y(D) – y(A) = 2*0 – 3 = -3.

Точка А1(2; -3).