Question

допоможіть будь ласка дослідіть функцію і побудуйте її графік

y=1+8x²-x⁴

Answer 1

Ответ:

1.  ОДЗ: $x\in{R}$;

2. у(-х) = у(х) ⇒ функция четная;

3. Ось Оу функция пересекает в точке (0; 1);

Ось Ох функция пересекает в точках (-2,9; 0) и (2,9; 0).

4. Асимптот нет.

5. Функция возрастает на промежутках: (-∞; -2]; [0; 2];

Функция убывает на промежутках: [-2; 0]; [2; +∞);

x max = ±2;   x min = 0.

6. Функция выпукла на промежутках: (-∞; -1,2]; [1,2; +∞)

Функция вогнута на промежутке: [-1,2; 1,2]

х перегиба = ± 1,2

Пошаговое объяснение:

Исследовать функцию и построить график

у = 1 + 8х² - х⁴.

1. ОДЗ: $x\in{R}$

2. Четность, нечетность.

Если f(-x) = f(x), то функция четная, если f(-x) = -f(x) - нечетная.

у(-х) = 1 + 8 · (-х)² - (-х)⁴ = 1 + 8х² - х⁴

у(-х) = у(х) ⇒ функция четная.

3. Пересечение с осями координат.

1) с осью Оу ⇒ х = 0, тогда у = 1

Ось Оу функция пересекает в точке (0; 1)

2) с осью Ох ⇒ у = 0

1 + 8х² - х⁴ = 0   | · (-1)

x⁴ - 8x² - 1 = 0

Заменим переменную:

x² = t, t ≥ 0

t² - 8t - 1 = 0

$\displaystyle D=64+4 = 68\\\\t_1 = \frac{8+\sqrt{68} }{2} \approx 8,1 ;\;\;\;\;\;t_2=\frac{8-\sqrt{68} }{2} \approx -0,1$

t₂ < 0 ⇒ не подходит.

Выполним обратную замену:

х² = 8,1

х = ±√8,1

х ≈ ± 2,9

Ось Ох функция пересекает в точках (-2,9; 0) и (2,9; 0).

4. Функция непрерывна. Асимптот нет.

5. Возрастание, убывание, экстремумы.

Найдем производную:

у' = 0 + 8 · 2x - 4x³ = 16x - 4x³ = 4x · (4 - x²) = 4x(2 - x)(2 + x)

Приравняем к нулю, найдем корни и отметим их на числовой оси.

Определим знак производной на промежутках.

• Если производная положительна, функция возрастает, если отрицательна - убывает.

4x(2 - x)(2 + x) = 0

х₁ = 0; х₂ = 2; х₃ = -2

$+++[-2]---[0]+++[2]---$

Функция возрастает на промежутках: (-∞; -2]; [0; 2];

Функция убывает на промежутках: [-2; 0]; [2; +∞).

• Если производная меняет знак с плюса на минус, то в данной точке наблюдается максимум, если с минуса на плюс, то в данной точке  - минимум.

x max = ±2;   x min = 0.

y(±2) = 17; y(0) = 1.

                         

6. Выпуклость, вогнутость.

Найдем производную второго порядка:

y'' = 16 - 4 · 3x² = 4(4 - 3x²) = 4(2 - x√3)(2+ x√3)

Приравняем вторую производную к нулю, найдем корни и отметим их на числовой оси.

Определим знак второй производной на промежутках.

• Если производная второго порядка положительна, функция вогнута, если отрицательна - выпукла.

4(2 - x√3)(2+ x√3) = 0

$\displaystyle x_1=\frac{2}{\sqrt{3} } \approx 1,2;\;\;\;x_2=-\frac{2}{\sqrt{3} } \approx -1,2$

$---[-1,2]+++[1,2]---$

Функция выпукла на промежутках: (-∞; -1,2]; [1,2; +∞)

Функция вогнута на промежутке: [-1,2; 1,2]

• В точках, в которых вторая производная меняет знак, наблюдается перегиб.

х перегиба = ± 1,2

у(±1,2) ≈ 9,9

Строим график.

#SPJ1