Ответы
Ответ:
1. ОДЗ: ;
2. у(-х) = у(х) ⇒ функция четная;
3. Ось Оу функция пересекает в точке (0; 1);
Ось Ох функция пересекает в точках (-2,9; 0) и (2,9; 0).
4. Асимптот нет.
5. Функция возрастает на промежутках: (-∞; -2]; [0; 2];
Функция убывает на промежутках: [-2; 0]; [2; +∞);
x max = ±2; x min = 0.
6. Функция выпукла на промежутках: (-∞; -1,2]; [1,2; +∞)
Функция вогнута на промежутке: [-1,2; 1,2]
х перегиба = ± 1,2
Пошаговое объяснение:
Исследовать функцию и построить график
у = 1 + 8х² - х⁴.
1. ОДЗ:
2. Четность, нечетность.
Если f(-x) = f(x), то функция четная, если f(-x) = -f(x) - нечетная.
у(-х) = 1 + 8 · (-х)² - (-х)⁴ = 1 + 8х² - х⁴
у(-х) = у(х) ⇒ функция четная.
3. Пересечение с осями координат.
1) с осью Оу ⇒ х = 0, тогда у = 1
Ось Оу функция пересекает в точке (0; 1)
2) с осью Ох ⇒ у = 0
1 + 8х² - х⁴ = 0 | · (-1)
x⁴ - 8x² - 1 = 0
Заменим переменную:
x² = t, t ≥ 0
t² - 8t - 1 = 0
t₂ < 0 ⇒ не подходит.
Выполним обратную замену:
х² = 8,1
х = ±√8,1
х ≈ ± 2,9
Ось Ох функция пересекает в точках (-2,9; 0) и (2,9; 0).
4. Функция непрерывна. Асимптот нет.
5. Возрастание, убывание, экстремумы.
Найдем производную:
у' = 0 + 8 · 2x - 4x³ = 16x - 4x³ = 4x · (4 - x²) = 4x(2 - x)(2 + x)
Приравняем к нулю, найдем корни и отметим их на числовой оси.
Определим знак производной на промежутках.
- Если производная положительна, функция возрастает, если отрицательна - убывает.
4x(2 - x)(2 + x) = 0
х₁ = 0; х₂ = 2; х₃ = -2
Функция возрастает на промежутках: (-∞; -2]; [0; 2];
Функция убывает на промежутках: [-2; 0]; [2; +∞).
- Если производная меняет знак с плюса на минус, то в данной точке наблюдается максимум, если с минуса на плюс, то в данной точке - минимум.
x max = ±2; x min = 0.
y(±2) = 17; y(0) = 1.
6. Выпуклость, вогнутость.
Найдем производную второго порядка:
y'' = 16 - 4 · 3x² = 4(4 - 3x²) = 4(2 - x√3)(2+ x√3)
Приравняем вторую производную к нулю, найдем корни и отметим их на числовой оси.
Определим знак второй производной на промежутках.
- Если производная второго порядка положительна, функция вогнута, если отрицательна - выпукла.
4(2 - x√3)(2+ x√3) = 0
Функция выпукла на промежутках: (-∞; -1,2]; [1,2; +∞)
Функция вогнута на промежутке: [-1,2; 1,2]
- В точках, в которых вторая производная меняет знак, наблюдается перегиб.
х перегиба = ± 1,2
у(±1,2) ≈ 9,9
Строим график.
#SPJ1
![](https://st.uroker.com/files/725/725a367c7a512acb7396c2042531127c.png)