Question

Розв’язати задані диференціальні рівняння, що допускають зниження порядку.
знайти загальний розв’язок.

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle \boldsymbol {y(x) = C_1(-e^{-x}+x)+C_2}$

Пошаговое объяснение:

Понижаем порядок путем замены y'(x) = v(x)

$\displaystyle (1+e^x)y''+y'=0\\\\y'(x) = v(x)\\\\(1+e^x)v'(x)+v(x)=0\\\\v'(x) = -\frac{v(x)}{1+e^x} \\\\\\\frac{v'(x)}{v} =-\frac{1}{1+e^x} \\\\\\\int {\frac{v'(x)}{v(x) } } \, dx =-\int{\frac{1}{1+e^x} } \, dx \qquad \bigg[\int{\frac{\displaystyle\frac{dv}{dx} }{v(x)} } \, dx =\int {\frac{1}{v(x)} } \, dv\bigg]\\\\\\ \int {\frac{1}{v(x)} \;dv} =-\int{\frac{1}{1+e^x} } \, dx \\\\\\ln(v(x) = -x+ln(e^x+1)+C_1\\\\v(x) = e^{C_1}(e^{-x}+1)$

Переопределим константы

$\displaystyle v(x) = C_1(e^{-x}+1)\\\\y'(x) = C_1(e^{-x}+1)\\\\y(x) = \int\limits^a_b {C_1(e^{-x}+1)} \, dx =C_1(-e^{-x}+x)+C_2$

#SPJ1