Question

sin^2x-sin2x-3cos^2x<0

Answer 1

Ответ:

x∈(-π/4+πn;arctg(3)+πn), n∈Z

Объяснение:

sin²(x)-sin(2x)-3cos²(x) < 0
Раскрываем sin(2x) как 2sin(x)cos(x). Приравниваем выражение к нулю для нахождения корней:
sin²(x)-2sin(x)cos(x)+cos²(x)-4cos²(x) = 0
Сворачиваем первые 3 множителя в разность в квадрате
(sin(x)-cos(x))²-(2cos(x))² = 0
Теперь раскладываем разность квадратов
(sin(x)-cos(x)-2cos(x))*(sin(x)-cos(x)+2cos(x)) = 0
(sin(x)-3cos(x))*(sin(x)+cos(x)) = 0
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю
$\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}sin(x)-3cos(x)=0\\sin(x)+cos(x)=0\\\end{array}\right. < = > \left[\begin{array}{ccc}sin(x)=3cos(x)|:cos(x)\neq 0\\sin(x)=-cos(x)|:cos(x)\neq 0\\\end{array}\right. < = >$
$\displaystyle < = > \left[\begin{array}{ccc}\frac{sin(x)}{cos(x)}=3 \\\frac{sin(x)}{cos(x)}=-1 \\\end{array}\right. < = > \left[\begin{array}{ccc}tg(x)=3\\tg(x)=-1\end{array}\right. < = > \left[\begin{array}{ccc}x=arctg(3)+\pi n\\x=arctg(-1)+\pi n\end{array}\right. < = >$
$\displaystyle < = > \left[\begin{array}{ccc}x=arctg(3)+\pi n\\x=-\frac{\pi }{4} +\pi n\end{array}\right.$, n∈Z
Теперь изобразим решения на единичной окружности(см. вложение)
Из рисунка видно, что x∈(-π/4+πn;arctg(3)+πn), n∈Z