Question

Об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі 0y фігури, яка обмежена лініями
y²=x, y= -x

Answer 1

Ответ:

Объем тела равен   $\displaystyle \boldsymbol {\frac{2\pi }{15} }$  ед³

Пошаговое объяснение:

Формула для вычисления объема

$\displaystyle V = \pi \int\limits^a_b {\bigg(x_2^2(y)-x_1^2(y)\bigg)} \, dx$

Делаем чертеж, получаем фигуру и пределы интегрирования.

Выразим функции в виде  х²(y).

y₁²=x₁        x₁² = (y₁)⁴

y₂ = -x₂    x₂² = (-y₂)²

Объем нашего тела - это объем конуса (y₂=-x₂)  минус объем параболоида (y₁²=x₁ )

Рассчитаем объем

$\displaystyle V=\pi \int\limits^0_{-1} {\bigg((x_2(y))^2-(x_1(y))^2\bigg)} \, dy =\pi \int\limits^0_{-1} {\bigg(y^2-y^4\bigg)} \, dy=\pi \bigg(\frac{y^3}{3} \bigg|_{-1}^0-\frac{y^5}{5} \bigg|_{-1}^0\bigg)=\\\\\\=\pi \bigg(\frac{1}{3} -\frac{1}{5} \bigg)=\frac{2}{15} \pi$

#SPJ1