Прямоугольный треугольник с острым углом 30° вписан в окружность радиуса 8 см. Из центра О окружности проведен перпендикуляр ОР к плоскости круга. Найти расстояние от точки Р до катетов треугольника, если ОР = 3 см
С решением пожалуйста.
Ответы
Ответ:
Расстояния от точки Р до катетов треугольника АС и СВ соответственно равны 5 см и √57 см.
Объяснение:
Прямоугольный треугольник с острым углом 30° вписан в окружность радиуса 8 см. Из центра О окружности проведен перпендикуляр ОР к плоскости круга. Найти расстояние от точки Р до катетов треугольника, если ОР = 3 см.
Дано: ΔАВС - прямоугольный;
∠А = 30°;
Окр.О - описана около ΔАВС;
R = 8 см;
ОР ⊥ плоскости круга; ОР = 3 см.
Найти: расстояние от Р до катетов АС и СВ.
Решение:
- Расстояние от точки до прямой - перпендикуляр, опкщенный из данной точки на данную прямую.
⇒ РК ⊥ АС; РМ ⊥ СВ.
⇒ Искомые отрезки РК и РМ.
- Если прямая перпендикулярна плоскости, она перпендикулярна любой прямой, принадлежащей этой плоскости.
⇒ РО ⊥ ОМ; РО ⊥ ОК.
1. Рассмотрим ΔАВС - прямоугольный.
Окр.О - описанная.
- Прямой вписанный угол опирается на диаметр.
⇒ АВ диаметр Окр.О.
АО = ОВ = 8 см.
- Диаметр равен двум радиусам.
⇒ АВ = 8 · 2 = 16 (см)
∠А = 30°.
- Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
⇒ СВ = 16 : 2 = 8 см
По теореме Пифагора найдем АС:
АС² = АВ² - СВ² = 256 - 64 = 192
АС = √192 = 8√3 (см)
2. Рассмотрим ΔОРМ - прямоугольный.
РМ ⊥ СВ.
- Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.
⇒ ОМ ⊥ СВ.
- Если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны между собой.
⇒ ОМ || АС.
- Если отрезок в треугольнике проходит через середину одной из его сторон, пересекает вторую и параллелен третьей — этот отрезок можно назвать средней линией этого треугольника.
⇒ ОМ - средняя линия ΔАВС.
- Средняя линия равна половине длины стороны, которую она не пересекает.
⇒ ОМ = АС : 2 = 4√3 (см).
По теореме Пифагора найдем РМ:
РМ² = ОР² + ОМ² = 9 + 16 · 3 = 57
РМ = √57 см
3. Рассмотрим ΔКРО - прямоугольный.
Аналогично п. 2:
КО = СВ : 2 = 4 (см).
По теореме Пифагора найдем РК:
РК² = ОР² + КО² = 9 + 16 = 25
РК = √25 = 5 (см)
Расстояния от точки Р до катетов треугольника АС и СВ соответственно равны 5 см и √57 см.
#SPJ1
![](https://st.uroker.com/files/24e/24eb4eb0892777b085732281a954e53c.png)