Question

Найти sinx-cosx зная что sinx×cosx=1/3

Answer 1

Найти sin x-cos x, зная, что sinx*cosx=1/3.

Ответ:

√3/3 либо (-√3/3).

Пошаговое объяснение:

$\Large \boldsymbol {} \sin x*\cos x = \frac{1}{3}$

Умножим правую и левую части уравнения на (-2):

$\Large \boldsymbol {} \sin x*\cos x = \frac{1}{3}\ \Big|_{}^{}*(-2)\\\\-2\sin x\cos x = -\frac{2}{3}$

Прибавим единицу и отнимем её, таким образом не изменим выражение, но получим новые возможности преображения:

$\Large \boldsymbol {} -2\sin x\cos x +1-1= -\frac{2}{3}\\\\-2\sin x\cos x +1=- \frac{2}{3}+1\\\\-2\sin x\cos x +1= \frac{1}{3}$

Используя основное тригонометрическое тождество sin²x+cos²x=1 расписываем единицу:

$\Large \boldsymbol {} -2\sin x\cos x +\cos^2x+\sin^2x= \frac{1}{3}\\\\\underset{a}{\underbrace{\sin^2x}}-\underset{2ab}{\underbrace{2\sin x\cos x }}+\underset{b}{\underbrace{\cos^2x}}=\frac{1}{3}$

Используя формулу квадрата разности (a-b)²=a²-2ab+b² записываем выражение следующим образом:

$\Large \boldsymbol {} (\sin x - \cos x)^2=\frac{1}{3}\\\\\sin x - \cos x=\sqrt{\frac{1}{3} }\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \sin x - \cos x=-\sqrt{\frac{1}{3} } \\\\\sin x - \cos x=\frac{1}{\sqrt{3} }\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \sin x - \cos x=-\frac{1}{\sqrt{3} }$

Избавимся от иррациональности в знаменателях дробей:

$\Large \boldsymbol {} \\\\\sin x - \cos x=\frac{1}{\sqrt{3} }*\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\sin x - \cos x=-\frac{1}{\sqrt{3} }*\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\\\\\sin x - \cos x=\frac{\sqrt{3}}{3 }\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \: \: \: \sin x - \cos x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$