Question

y''+ 4y' + 4y = 25sin x

Answer 1

$y''+ 4y' + 4y = 25\sin x$

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения равно сумме общего решения однородного дифференциального уравнения, соответствующего данному неоднородному, и частного решения данного неоднородного уравнения.

1. Составим и решим однородное дифференциальное уравнение, соответствующее данному неоднородному:

$y''+ 4y' + 4y = 0$

Характеристическое уравнение:

$\lambda^2+4\lambda+4=0$

$(\lambda+2)^2=0$

$\lambda_1=\lambda_2=-2$

Общее решение однородного дифференциального уравнения:

$Y=C_1e^{-2x}+C_2xe^{-2x}$

2. Частное решение данного неоднородного уравнения ущем в виде:

$\overline{y}=A\sin x+B\cos x$

Тогда:

$\overline{y}'=A\cos x-B\sin x$

$\overline{y}''=-A\sin x-B\cos x$

Подставим все соотношения в исходное уравнение:

$-A\sin x-B\cos x+ 4(A\cos x-B\sin x) + 4(A\sin x+B\cos x) = 25\sin x$

$-A\sin x-B\cos x+ 4A\cos x-4B\sin x + 4A\sin x+4B\cos x = 25\sin x$

$(-A-4B+ 4A)\sin x+(-B+ 4A +4B)\cos x = 25\sin x$

$(3A-4B)\sin x+(4A +3B)\cos x = 25\sin x$

Получаем систему:

$\begin{cases} 3A-4B=25 \\ 4A+3B=0\end{cases}$

Первое уравнение умножаем на 3, а второе на 4:

$\begin{cases} 9A-12B=75 \\ 16A+12B=0\end{cases}$

Сложим уравнения:

$25A=75$

$A=3$

Подставим значение во второе уравнение:

$4\cdot3+3B=0$

$4+B=0$

$B=-4$

Тогда, частное решение имеет вид:

$\overline{y}=3\sin x-4\cos x$

3. Записываем общее решение исходного уравнения:

$y=Y+\overline{y}$

$\boxed{y=C_1e^{-2x}+C_2xe^{-2x}+3\sin x-4\cos x}$