Question

В прямоугольнике ABCD ниже BN - это биссектриса угла. Если BT = TC = 6 см и AB = 8 см, вычислите площадь ΔPNT.​

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{96}{7}$

Объяснение:

1) Найдем сначала площадь треугольника BNTпо формуле "половина произведения основания BT=6 на высоту 8"; она равна 24.

2) Поскольку BN - биссектриса угла ABT, углы ABN и TBN равны (в каждом 45 градусов, но нам это не понадобится). Поскольку AD параллельно BC, углы TBN и ANB равны (как внутренние накрест лежащие). Поэтому равны углы ABN и ANB, то есть треугольник BAN равнобедренный, AB=AN=8.

Заметим, что треугольники ANP и TBP подобны (мы уже заметили, что углы при вершинах N и B в этих треугольникавх равны, по той же причине равны углы при вершинах A и T), поэтому

                                 $\dfrac{PN}{PB}=\dfrac{AN}{TB}=\dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3}.$

Иными словами в PN четыре части, а в PB три части, а тогда в BN 3+4=7 частей, то есть

                                   $\dfrac{PN}{BN}=\dfrac{4}{3+4}=\dfrac{4}{7}.$

Остается заметить, что высоты , опущенные из вершины T на стороны PN и BN треугольников PNT и BNT, равны, поэтому отношение площадей этих треугольников равно отношению сторон PN  и  BN, то есть 4/7. Иными словами, площадь треугольника PNT составляет 4/7 площади треугольника BNT, которую мы нашли в первом пункте. Итак,

                            $S_{PNT}=\dfrac{4}{7}\cdot S_{BNT}=\dfrac{4\cdot 24}{7}=\dfrac{96}{7}.$

Замечание. Условие TC=6 оказалось лишним, что и естественно, так как совершенно непринципиально, как далеко вправо простирается прямоугольник. Вообще условие задачи можно было сформулировать для прямоугольной трапеции ABTN (типа "диагональ BN является биссектрисой угла ABT").