Question

Сколько решений имеет данное уравнение?
x^4+y^4=x^2+y^2
a) 0
b) 2
c) Много
d) Нет решений​

Answer 1

Ответ:

с) Уравнение имеет много решений. (бесконечно много)

Пошаговое объяснение:

Перейдем к полярный координатам:

x=r cos φ, y= r sin φ

x⁴+y⁴=x²+y²

(rcos φ)⁴+(rsin φ)⁴=(rcos φ)²+(rsin φ)²

r⁴(cos⁴φ+sin⁴φ)=r²(cos²φ+sin²φ)

r⁴(cos⁴φ+sin⁴φ)=r²

r²(cos⁴φ+sin⁴φ)=1

$r=\frac{\pm1}{\sqrt{\cos^4 \phi+\sin^4\phi}}$

Отметим, что для любого φ верно равенство

$\cos^4 \phi+\sin^4\phi=1-\frac{1}{2} \sin^22\phi$

Доказывается это тождество возведением в квадрат основного тригонометрического тождества. Отметим также, что это выражение принимает значения, большие 1/2 (так как от 1  вычитается число, не большее, чем 1/2), то есть строго большие нуля, и на него можно делить, что мы делаем, когда вычисляем r.

Значит

$r=\frac{\pm1}{\sqrt{1-\frac{1}{2} \sin^22\phi}}$  - подставим это в выражение x и y:

$(x;y)=(r\cos\phi; r\sin\phi) = (\frac{\pm\cos\phi}{\sqrt{1-\frac{1}{2} \sin^22\phi}};\frac{\pm\sin\phi}{\sqrt{1-\frac{1}{2} \sin^22\phi}})$

Множество таких пар (x;y) является решением исходного уравнения, при этом в качестве φ можно взять любое действительное число. То есть таких пар бесконечно много.

PS: Для визуализации прилагаю картинку, на которой на координатной плоскости изображено множество таких пар. В задаче не требовалось строить такое изображение, поэтому опускаю детали, как это можно сделать без использования программ.

#SPJ1